Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 34 )

что вместе с (2) и (3) доказывает транзитивность R.

Эта обратная теорема позволяет синтезировать отношение подобия, в то время как прямая теорема позволяет проводить анализ.

Замечание. Как следует из этой теоремы, обычное отношение, ближайшее к отношению подобия, есть отношение эквивалентности. Это становится очевидным, если рассмотреть, что представляет собой Rα, когда α> 0,5.

Примеры. Посмотрим, как проводится анализ отношения, которое представлено на рис. 49. Декомпозиция этого отношения показана на рис. 1.

Рис. 1.

Рассмотрим пример синтеза. Пусть четыре отношения

эквивалентности последовательно содержат друг друга (рис. 2).

Рис. 2.

Тогда имеем = (0,2∙R0,2; 0,6∙R0,6; 0,8∙R0,8; 1∙R1).

Результат показан на рис. 3.

Рис. 3.

Другой пример приведен на рис. 4, где предполагается, что

а и b [0,1] при а < b.

Рис. 4.

Транзитивные графы расстояний. Для каждого отношения подобия рассмотрим транзитивные графы, которые отвечают (min — mах)-м расстояниям. Несколько примеров послужат наглядной иллюстрацией к этому замечанию.

Пример 1. На рис. 5 показано отношение различия.

Рис. 5.

На рис. 6 представленны транзитивные графы, соответствующие разным расстояниям.

Рис. 6.

Пример 2 (рис. 7 и 8). Этот пример - на транзитивное замыкание (рис. 71) отношения сходства (рис.70).

Рис. 7.

Рис. 8.

Полученное здесь разложение мы сравним с тем, которое получится в следующем примере (рис. 9 и 10).

Пример 3 (рис. 9 и 10).

Рис. 9.

Рис. 10.

(Мах— ∙ )-транзитивное замыкание отношения сходства на рис. 70 было представлено на рис. 75. Для этого на рис. 76 выписали матрицу (max — sum)-расстояний. В этом примере при декомпозиции на обычные графы расстояний появятся нетранзитивные графы. Использование (max — ∙)-транзитивного замыкания в отношении сходства менее удобно по сравнению с использованием (max — min) транзитивного замыкания.

Декомпозиционное дерево. Если внимательно изучить рис. 1, то можно заметить, что по мере того, как α последовательно принимает значения 0,7; 0,8; 0,9 и 1, разбиение Е на классы эквивалентности включает все больше и больше частей. Это разложение было проведено по древовидной схеме (рис. 11).

Рис. 11.

Такая схема называется декомпозиционным деревом.

Другой пример разложения для данных рис. 4 приведенo на рис. 12.

Рис. 12.

Можно проверить, что два элемента х и у, которые принадлежат Е, должны принадлежать одному и тому же классу α-уровня, если и только если

(х,у)≥α.

Это декомпозиционное дерево хорошо отражает структуру отношения подобия или группировки элементов, которые построены с использованием их транзитивных расстояний от других элементов.

Деревья можно представлять разными способами. Используя лингвистические обозначения, дерево на рис. 11 можно записать в следующем виде:

0,7 (0,8 (0,9(1 {A, D}, 1{Е}), 0,9(1 {В})), 0,8(0,9 (1{С}))).

Такое использование круглых скобок не слишком удобно.

Можно также использовать польское обозначение, собирая вершины в «кучи».

Дерево на рис. 11 будет тогда записано в виде такой последовательности:

0,7 (ABCDE) 0,8 (ABDE) 0,9 (ADE) 1 (AD), 0,9 (ADE) 1 (Е) 0,9 (ADE), 0,8(ABDE) 0,9 (В) 1 (В) 0,9 (В) 0,8 (ABDE) 0,7 (ABCDE) 0,8 (С) 0,9 (С) 1 (С) 0,9 (С) 0,8 (С) 0,7 (ABCDE).

Выбор транзитивно ближайших сообщений. Нечеткое подмножество можно рассматривать как сообщение, которое вместо того, чтобы быть бинарным, оказалось нечетким.

Рассмотрим обычное множество F нечетких подмножеств i принадлежащих одному и тому же универсальному множеству Е:

F={ 1, 2, ... , п}.

Мы хотим определить, какие из нечетких подмножеств или нечетких сообщений окажутся транзитивно ближайшими. Немного позднее уточним неудобства понятия транзитивности, которое здесь будем рассматривать, при этом преимущества выявятся сразу.

Будем действовать следующим образом (и попутно объяснять, что понимается под «транзитивно ближайшим»).

1. Для каждой пары (і, j), i, j = 1, 2, ..., п, подсчитаем относительное обобщенное расстояние Хемминга (или относительное евклидово расстояние ε(Аі, Aj) в зависимости от характера проблемы или даже какое-нибудь другое расстояние) δ(і, j), что дает отношение несходства .

2. Вычисляем (min — mах)-транзитивное замыкание [определеное в (105)]. Полученное отношение дает (min — mах)-транзитивное расстояние

( і, j) = 0.

3. Затем раскладываем согласно (1) и получаем следующие обычные подмножества F:

транзитивно ближайшие сообщения, для которых

( і, j) = 0;

транзитивно ближайшие сообщения, для которых

0< (і, j) =α1<α2<...;

транзитивно ближайшие сообщения, для которых

0< α1< (і , j) =α2<α3<...;

и т. д.

4. Строим соответствующее декомпозиционное дерево.

Пример. Пусть Е — конечное универсальное множество с

card (Е)=7; рассмотрим семь подмножеств или сообщений і, i = 1,2.....6.

Теперь подсчитаем относительное обобщенное расстояние Хемминга:

( и, j) = .

Это дает отношение несходства (рис. 13, а).

Рис. 13.

Затем с помощью (105) подсчитаем (min — mах)-транзитивное замыкание , которое дает транзитивные расстояния δ (см. рис. 14 и 15).

Рис. 14.

Рис. 15.

Замечание о сущности транзитивного расстояния.

В зависимости от характера решаемой проблемы (min — max)-транзитивное замыкание матрицы расстояний может не иметь значения в практических приложениях. Рассмотрим пример. Имеем следующие четыре сообщения: