Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 63 )

3. из следует, что либо R = Rі, либо

Две различные точки R' и R" назовем соседними, если они сами образуют линейный сегмент. Очевидно, что между соседни­ми точками не лежит ни одна точка, отличная от них. Линей­ный сегмент является последовательностью соседних точек, ле­жащих «между» двумя данными и «соединяющей» их.

Теорема 7.1. В произвольном пространстве бинарных отно­шений для любой пары различных точек существует линейный сегмент между ними.

Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.

Лемма 7.2. Пусть R' и R" —различные точки в пространст­ве Существует точка, лежащая между R' и R" и соседняя к R' .

Доказательство. ПустьСогласно следствию из леммы 7.1 множество всех точек, лежащих меж­ду R' и R, содержится в множестве точек, лежащих между R' и R".

Покажем, что Предположим противное. Тогда

справедливы включения

и

Из этих включений имеем

и

Отсюдачто противоречит условию Итак, мно-

жество точек, лежащих между R' и R, строго содержится в мно­жестве точек, лежащих между R' и R". Так как множество то­чек, лежащих между R' и R", конечно, то отсюда непосредст­венно следует утверждение леммы.

Доказательство теоремы 7.1. Пусть R' и R" — точки пространства Положим и определим R2 как соседнюю к R1 точку, лежащую между R' и R'′ . Как показано в лемме 7.2, такая точка существует. Если R2= R", то теорема доказана. В противном случае мы применяем предыдущее рас­суждение к точкам R2и R". По индукции, пусть Ri+1 есть соседняя точка к Ri, лежащая между Ri и R". Легко видеть, что на некотором шаге мы получим Согласно следствию из леммы 7.1, все построенные точки лежат между R' и R".

Покажем, что построенная последовательность точек задает линейный сегмент между R' и R". Очевидно, достаточно про­верить выполнение условия 2 из определения 7.3. Пусть Rm, Ri и Rl такие, что Из построения последовательности точек {Ri} следует, что т. е. справедливы включения

Используя эти включения, получаем

и

откуда следует, что что и требовалось доказать.

Введенное в этом параграфе понятие линейного сегмента яв­ляется аналогом привычного геометрического понятия отрезка прямой, соединяющей две заданные точки. Существенное отличие состоит в том, что, вообще говоря, существуют различные ли­нейные сегменты, соединяющие две заданные точки. Это обсто­ятельство накладывает специфический оттенок на интерпрета­цию геометрических построений в пространствах бинарных от­ношений.

7.2. Выпуклые множества и выпуклые оболочки

Наличие понятия «между» в пространстве предпочтений позволяет ввести естественное понятие выпуклого множества. Соответственно тому, что у нас имеется два определения «меж­ду», мы дадим два определения выпуклости.

Определение 7.4. Множествоточек пространстваназыва­ется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно со­держит любую точку, лежащую между ними.

Используя наши обозначения, можно сказать, что множество X выпукло, если из следует, что

Определение 7.5. Множество точек прост-

ранства называется выпуклым, если из сле-

дует, что

Другими славами, множество отношений выпукло, если лю­бое отношение, лежащее одновременно между всеми отношения­ми из этого множества, принадлежит этому же множеству.

Исследуем связь между двумя определениями выпуклости. Следующее утверждение непосредственно вытекает из лем­мы 7.1.

Лемма 7.3. Из выпуклости в смысле определения 7.5 следует выпуклость в смысле определения 7.4 для любого пространства бинарных отношений

До сих пор на пространство не накладывалось никаких ограничений. В дальнейшем мы будем в основном рассматривать пространства бинарных отношений, для которых выполнено сле­дующее условие.

Условие полноты. Для любых двух соседних точек R' и R" пространства симметрическая разность есть одноэлементное множество.

Другими словами, соседние отношения различаются на одной паре элементов множества А. Пространства, удовлетворяющие условию полноты, будем называть полными пространствами.

Если вспомнить, что в пространстве отношений предпочтения может быть определена метрическая структура, то полные прост­ранства характеризуются тем, что в этих пространствах соседние точки отстоят друг от друга на минимальное единичное расстоя­ние. Другими словами, полные пространства плотно, без «дыр» заполнены точками этого пространства.

Для полных пространств существует более глубокая связь между двумя определениями выпуклости, чем установленная в общем случае в лемме 7.3.

Лемма 7.4. Для полного пространства из выпуклости в смыс­ле определения 7.4 следует выпуклость в смысле определения 7.5.

Доказательство. Пусть . — множество,

выпуклое в смысле определения 7.4, т. е. вместе с любыми двумя точками из X содержит все точки, лежащие между ними. Пусть

Рассмотрим линейный сегмент между R1 и R (выбор точки R1 произволен). Предположим, что Поскольку то в линейном сегменте между R1 и R найдутся две

последовательные точки R' и R" такие, что а

Так как точки R' и R" — соседние, то возможны два случая:

илидля некоторой пары (а, b).

Рассмотрим эти случаи отдельно.

Так как . по определению линейного сегмента, то откуда Так как Отсюда для некоторого i. Покажем, что Действительно, так как Далее, так как и Итак, Но что противоречит выпуклости.