Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 53 )

Пример 2.

Пусть  - это длительность жизни человека. В этом случае отношение R с функцией принадлежности

  (9)

представляет неточное утверждение «особа x намного старше особы y».

Следует подчеркнуть, что нечеткое отношение R - это нечеткое множество, поэтому сохраняют силу введенные определения операций пересечения, суммирования и дополнения:

,  (10)

,  (11)

.  (12)

В теории нечетких множеств важную роль играет понятие комбинации двух нечетких отношений. Рассмотрим три четких множества X, Y, Z и два нечетких отношения  и  c функциями принадлежности  и .

Определение 2.

Комбинацией типа  нечетких отношений  и  называется нечеткое отношение с функцией принадлежности

.  (13)

Конкретная форма функции принадлежности  комбинации  зависит от T-нормы, используемой в формуле (13). Если в качестве T-нормы применяется min, т. е. , то равенство (13) можно представить в виде

.  (14)

Формула (14) известна в литературе под названием «комбинация типа sup-min». Если множество Y имеет конечное количество элементов, то комбинация типа sup-min сводится к комбинации типа max-min в форме

.  (15)

Пример 3.

Допустим, что отношения R и S представлены матрицами

,  ,  (16)

причем , , . Комбинация типа max-min отношений R и S имеет вид

(17)

где

,

,

,

,

,

.

Поэтому

.  (18)

В таблице 1 собраны важнейшие свойства нечетких отношений, причем I означает единичную матрицу, а O - нулевую матрицу.

Таблица 1.

Важнейшие свойства нечетких отношений

1
2
3
4
5
6
7
8

Как отмечалось выше, для практических приложений особенно важна комбинация нечеткого множества с нечетким отношением. Рассмотрим нечеткое множество  и нечеткое отношение  с функциями принадлежности  и .

Определение 3.

Комбинация нечеткого множества  и нечеткого отношения  обозначается  и определяется как нечеткое множество .

  (19)

с функцией принадлежности

.  (20)

Конкретная форма записи выражения (20) зависит от используемой T-нормы и от свойств множества X. Выделим 4 случая:

1) если , то получаем комбинацию типа sup-min

,  (21)

2) если  и X представляет собой множество с конечным количеством элементов, то получаем комбинацию типа max-min

,  (22)

3) если , то получаем комбинацию типа sup-произведение (sup-product)

,  (23)

4) если  и X представляет собой множество с конечным количеством элементов, то получаем комбинацию типа mах-произведение (max-product)

.  (24)

Пример 4.

Допустим, что ,  и A имеет вид

,  (25)

тогда как отношение R представлено матрицей

.  (26)

Комбинацию  типа max-min рассчитываем по формуле (22). Результат комбинации - это нечеткое множество B вида

,  (27)

причем

(28)

(29)  

Поэтому

.  (30)

6. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений

Введение

Настоящий раздел изложен по результатам работ . Современный этап в развитии теории систем и системного анализа отмечен обращением к сложным и плохо определенным системам, связанным с деятельностью людей. Для решения задач, возникающих в процессе управления такими си­стемами, имеющейся объективной информации оказывается явно недостаточно и тогда дополнительно привлекается субъективная информация — индивидуальные суждения высококвалифицирован­ных специалистов (экспертов). В этих условиях особенно повыша­ется роль субъективной информации, а также выдвигаются новые требования к методам ее обработки и к обоснованности решений, принимаемых на ее основе.

В реальных задачах принятия решений с использованием экс­пертных суждений трудно рассчитывать на то, что при поиске решения можно будет ограничиться формальными математиче­скими методами, однако их использование зачастую становится полезным и необходимым на разных этапах фомирования прием­лемого коллективного решения. Очевидно, что при решении мно­гих задач системного анализа тот или иной способ принятия ре­шения должен опираться на групповые суждения экспертов. По­пытка усреднить отдельные мнения часто приводит к тому, что с этим средним мнением каждый эксперт в отдельности согласен не больше, чем, может быть, с точкой зрения другого эксперта. Поэтому особое внимание привлекают такие способы построения групповых решений, которые опирались бы не столько на фор­мальные правила, сколько на «разумные», легко воспринимаемые людьми принципы, позволяющие придавать содержательное тол­кование получаемым решениям.