Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 49 )

В связи с этим весьма полезным может оказаться общий си­стемный подход к экспертизе. Экспертизу можно рассматривать как модель реальной системы с двумя входами X и Y, «серым ящиком» и ограничениями, накладываемыми на выходное отно­шение — отношение R. Свойства отношений на X и Y характе­ризуют состояние этих входов, свойства результирующего отно­шения R играют роль ограничений на состояние выхода, а функ­ционирование «серого ящика» должно определяться состояниями входов и выхода, а также физическим постулатом, что все эти три компонента системы связаны реально общим законом — за­коном взаимодействия. Задача исследователя системы состоит в поиске и формулировании такого закона.

5. Вопросы анализа и синтеза нечетких отображений

В практических ситуациях отображения чаще всего задаются не точными уравнениями, а совокупностью дискретных, зашумленных и неточных данных. Как рассматривать и представлять в виде нечетких такие отображения — тема настоящего исследова­ния. Особенно рекомендуется представление нечетких отображений с помощью нечетких гранул.

В практических ситуациях реальные действительно-значные отображения получают не всегда в виде аналитических уравнений y=f(x), а скорее в виде совокупности дискретных данных, как некоторое семейство точек (xi, уi), i=1, т. Очевидно, что такая спецификация функций f неполна. Кроме того, данные часто ока­зываются зашумленными или неточными, в этих случаях специ­фикация f может быть только приближенной. Предполагая для заданного уравнения некоторую структурную форму f, имеющие­ся данные можно использовать для идентификации параметров f. Однако в некоторых случаях уже относительно природы того, что специфицируется, может существовать неопределенность: в какой степени можно судить о том, что имеющиеся в распоряже­нии исследователя выборки получены по наблюдениям за ото­бражением, а не за отношением между элементами?

Первоначальная конкретизация того, что предполагается быть отображением, обычно не достаточно результативна. Нужны методы анализа данных для отбора исходной информации. Могут оказать­ся желательными и другие представления, отличные от простого задания набором точек, которые должны быть не только просты в обращении, но и учитывать неопределенность первичной спецификации, а не вводить произвольную, иллюзорную и часто вводящую в заблуждение точность.

Можно представить себе, что первичные данные дают карти­ну f. Если разглядывать эту картину слишком близко, то форма f покажется очень нерегулярной и беспорядочной из-за зернисто­сти изображения, но стоит отойти подальше, как картина пока­жется однородной и более определенной. По аналогии с этим бу­дем интересоваться здесь такими локально-зернистыми представ­лениями f, которые могут оказаться глобально гладкими; и тео­рия возможностей создает, по-видимому, подходящую основу для таких представлений.

Вначале рассмотрим, что прак­тически понимается под нечетким отображением, а не быдем вводить сразу некоторые нечеткие версии классических математических определений.

Сначала рассмотрим различные типы спецификаций, затем об­ратимся к анализу возможных свойств специфицированных ото­бражений; затем обрисуем некоторые методы получения прием­лемых представлений.

5.1. Различные типы спецификаций ото­бражений

Спецификации отображения могут быть более или менее не­определенными. Можем выделить следующие случаи.

А. Предполагается, что все точки (хі, уі) принадлежат графи­ку функции В этом случае возника­ет проблема подбора кривой: найти функцию f, обладающую не­которыми «приятными» свойствами (вообще предполагается, что f наделена некоторой структурной формой, например f — много­член) и минимизирующуюили некоторый другой критерий. В ряде работ нечеткая характеристическая функция использовалась для определения «остроты» угла в каж­дом узле сплайна в алгоритме аппроксимации с переменными уз­лами.

Б. Из-за возможных ошибок измерения точки (хі, уі) не обя­зательно принадлежат графику f; есть уверенность только в том, что, например,

такие, что

Иногда вместо четких, как здесь, интервалов, возможное по­ложение x*i (соответственно у*і) может быть ограничено выпук­лым и нормализованным нечетким множеством Xi (соответствен­но Yi). Другими словами, при использовании α-среза множества Xi (определенного как где — функция принадлежности Xi), вполне допустимо, что со степе­нью точка Вследствие выпуклости Хi срез есть интервал, а нормальность Xi гарантирует, что Функция Xi представляет собой нечеткое число или рас­пределение возможностей для более или менее возможных значений неизвестного x*i. В этом случае последовательность пар нечетких множеств приводит к введению мягких ограни­чений в задаче подбора кривой. Кроме того, ошибка при попытке измерить x*i не всегда не зависит от ошибки измерения у*і: между ними может существовать взаимодействие, даже тогда, когда такое взаимодействие практически трудно объяснить. Дру­гими словами, расположение точки может быть огра­ничено соответствующим подмножеством прямого произведения

и в более общем случае соответствующим подмножеством Прямые произведения невзаимодействующих нечетких подмно­жеств определяются через оператор конъюнкции min:

(1)

Теперь, чтобы контролировать конъюнкции ошибок, можно ис­пользовать операции более строгой конъюнкции, такие как про­изведение или и с их помощью построить слабо невзаимодействующие прямые произведения:

Примечание. При одних и тех же условиях проведения п измерений пары (хi, yі) существуют несколько способов объединения интервалов ошибок

в (четкое или нечеткое) подмножество Основной вопрос

состоит в следующем: следует ли для построения гранулы инфор­мации объединить сначала а затем уже построить прямое произведение, или объединить прямые произведения

В. В случае А задавались точно размещенные точки подлинно­го отображения f. В случае Б были известны нечеткие расположе­ния точек подлинного отображения f, и на основе сведений о выборке точек, которые не принадлежат графику f, а только рас­полагаются в его окрестности, определялись возможные границы каждого расположения. Теперь предположим, что точки снова расположены точно, однако f уже не настоящее отображение. Другими словами, у есть функция не только от х, но и от других переменных, хотя если интересоваться только грубым описанием всего процесса, то действием этих вторичных переменных можно пренебречь. Можно обратиться к модели где f — подлинное отображение и w — случайная переменная с нулевым ма­тематическим ожиданием. В качестве альтернативы можно рас­смотреть модель, которая оказывается почти отображением и в которой — нечеткое отображение: есть нечеткое множество, ограничивающее возможные значения «соответствующего» у, т. е. каждому х ставится в соответствие нечеткое значение

Если в распоряжении имеется большое число точек (хi, уi), то для того чтобы уплотнить информацию, можно пожелать сгруп­пировать точки в нечеткие кластеры. Таким образом, неточность данных (см. Б), а также неясная природа f могут привести к введению нечетких множеств прямого произведения в качестве описания отображения f.