Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 43 )

Предположим, что имеется отношение

определенное на пространстве

и нечеткое подмножество

пространства Y. Предположим также, чточто обес-

печивает условие, согласно которому множество решений зада­чи непусто. Для простоты обозначим нечеткое множество через Z. Построим матрицу

(3)

Можно заметить, что прии

максимальные компоненты i-гo столбца равны значению В(уі) (см. (2)). С помощью операции δ, которую определим следующим образом: дляимеем аδb = 1, если а = b, иначе aδb = 0, на основе матрицы построим матрицу М:

(4)

Легко видеть, что Из предположения, что

следует, что в каждом столбце матрицы М расположена хотя бы одна единица. Появление единиц указывает на выполнение ком­позиционного правила вывода. Построим теперь граф G, порож­денный матрицей М, т. е. рассмотрим матрицу М как матрицу инциденций точек из пространства X и Y. С ее помощью получим двудольныйграф где множество ребер

Рассмотрим пример.

Пример 1.Пустьо пределены пространства

а атомарные отношения R1 и R2 определяются нечеткими подмножест­вами

В этом случае глобальное отношение

принимает вид

Определенная здесь система обладает так называемым свойством хорошего отображения, т. е. Нас интересует вопрос: как далеко от A1 можно сдвинуть входное множество, не изменяя выходного B1.

1. По определению 1, можно подсчитать верхнюю границу для A; она рав­на

2. Используя формулы (2) и (3) для матрицы М, получаем

3. Построим граф G:

Рис. 1

4. Упорядочим множество Y, положив yi≤yj тогда и только тогда, когда В данном случае точки уj графа G упорядочены слева напра­во в возрастающей последовательности (рис. 1).

5. Напомним, что индексы столбцов матрицы М связаны с индексами со­ответствующих компонентов выходного вектора Может оказаться, что некоторые компоненты этого векто­ра имеют одинаковое значение. В этом случае соответствующие точки графа G должны слиться. Поскольку в данном примере то точки yi и уjг сливаются, образуя граф Gc (рис. 2).

Pис. 2

Для дальнейшего обсуждения предположим, что Вi(уj)≠0, j=1, ... l.

Это предположение не ограничивает общность результатов. Если найдется некоторый индекс j такой, что Bi(yj)=0, то точку уj можно удалить из графа G без какого-либо влияния на окон­чательный ответ.

Теперь прервем рассмотрение примера, так как для получения заключительных утверждений о семействе A следует обратиться к теории. Используя поясненные в примере понятия, введем сле­дующие определения.

Определение 2. В графе Gc минимальным контактом с мно­жеством Y называется подмножество ребер такое, что удаление из него любого ребра приведет к отделению некоторой точки (т. е. для некоторого yY степень у станет равна нулю).

Определение 3. Контакт Су согласован с порядком в Y (см. п. 4 в приведенном примере) тогда и только тогда, когда

при s>j.

В рассматриваемом примере в графе Gc имеется только один минимальный контакт, согласованный с порядком: Су={и(х1, y12), и(х1, у3), u(х1, у4)}. Это связано с тем обстоятельством, что степень y4 = 1 и вершина х1 инцидентна у4, но это означает, что и(х1, у4) принадлежит любому минимальному контакту, так что, по определению 3, ему должны также принадлежать и ребра и(х1, у12) и u(x1, у3). В силу определения 2 очевидно, что любой другой контакт не минимален.

Имея некоторый контакт Су, минимальный и согласованный с порядком, и используя описанный далее алгоритм, можно полу­чить нечеткое входное множество, столь необходимое для по­строения семейства A.

Алгоритм 1. Обозначим через Г(z) множество вершин графа Gc, инцидентных данной вершинев подграфе (X, Y, Cу) Gc, где Су — минимальный контакт, согласованный с поряд­ком. Нечеткое входное множество определя­ется следующим образом:

Лемма 1. Если для данного нечеткого множества А матрица М(А) (определенная с помощью (2) и (3)) порождает контакт графа G(Z), то

Доказательство. Зафиксируем какой-нибудь элемент yіY. На­до доказать равенство

Поскольку М(А) порождает контактграфа G(Z), то найдется некоторый xs такой, что Это, однако, означает, что

равно единице. Если это так, то в соответствии с процедурой построения матрицы М(А) имеем

Утверждение 2. Для данных R и В в системе (1) любое нечет­кое множество А, полученное с помощью алгоритма 1, принадле­жит семецству A.

Доказательство. Легко видеть, что контакт Су можно считать порожденным М(А). Однако в силу леммы 1 это означает, что A A.

Утверждение 3. Любое решение А системы (2), достигнутое с помощью алгоритма 1, — минимальное, т. е. уменьшение любого компонента функции принадлежности А(х) приводит к тому, что

Доказательство. Уменьшение любого компонента функции при­надлежности, определенной с помощью алгоритма 1, влечет исчез­новение одной или больше единиц из матрицы М(А). Это озна­чает, что получаемый подграф больше не имеет контакта с мно­жеством Y. По определению, это означает, что для некоторого у0 степень у0 = 0, т. е. откуда получаем, что.