Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 100 )

(6)

Найдя отсюда С и подставив в (2), получаем окончательно

(7)

Примерные графики этого решения при малом, «сред­нем» и большом t показаны на рис. 1 (соответственно линии 1, 2 и 3).

Рис.1

Так как оно приочень быстро стремится к нулю, а площадь под графиком все время остается равной то

где δ — дельта-функция. Таким образом, найденное ре­шение описывает эволюцию распределения температуры в стержне, если в момент t=0 при х=0 на бесконечно малом интервале сосредоточено тепло в количестве Q, а остальная часть стержня имеет нулевую температуру.

Из формулы (7) вытекает ряд следствий. Так, вычисления (6)

подтверждают сделанное выше допущение о сохранении количества тепла в стержне. Из равенства вытекает, что любая конечная порция тепла «размывается» со ско­ростью, пропорциональной т. е. с ростом t эта скорость падает. Впрочем, из той же формулы (7) следует и парадоксальный вывод о формально бесконечной скорости распространения тепла, упомянутый ранее.

В качестве еще одного следствия из формулы (7) получим так называемую формулу Пуассона для решения уравнения (1) при заданном начальном условии:

Здесь рассуждение аналогично тому, как применялась функ­ция Грина в п. 3.8.4.. Начальное распределение тепла можно рассматривать как результат наложения его бесконечно малых порций на интервалах длины

В силу однородности стержня каждой такой порции отвечает закон эволюции температуры по формуле

Теперь, пользуясь линейностью уравнения (1), при­меняем суперпозицию полученных бесконечно малых сла­гаемых, что дает требуемый результат:

В других задачах понятие автомодельного решения вво­дится сходным образом. И смысл его аналогичен — оно обычно описывает эволюцию некоторой сингулярности, сос­редоточенной в начальный момент в одной точке. Постро­ение такого решения сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения; однако далеко не всегда это построение удается осуществить в виде точной формулы и тогда приходится прибегать к численному решению. Из конкретного вида автомодельного решения можно вывести многие полезные следствия, даже порой для нелинейных уравнений с частными производными, которые в целом существенно сложнее, чем линейные; однако, к сожалению, такими решениями обладают далеко не все уравнения с частными производными, существенные для приложений.

3.8.6. Решения типа бегущих и стоячих волн

Поясним оба понятия на примере уравнения продольных упругих коле­баний прямоугольного стержня при линейном законе упру­гости (см. Добавление, п. 1б)

(1)

Решением типа бегущей волны называется решение вида

(2)

где f — какая-либо функция одного аргумента, вместо которого подставлено выражение Нетрудно понять смысл такого решения. Ведь при фиксированном значении t график функции получается из графика с помощью параллельного переноса в положительном направлении оси х на ct (если ct < 0, то направление переноса отрицательно). Пусть теперь t меня­ется непрерывно, как это и происходит на самом деле. Тогда мы видим, что график зависимости (2) и от х, не меняя своей формы, перемещается как жесткий шаблон вдоль оси х, причем в момент t перемещение равно ct, т. е. с есть скорость перемещения графика. Таким образом, бегущая волна прохоцит вдоль по стержню, не меняя своей формы, с постоянной скоростью с.

Чтобы найти такие решения, подставим выражение (2) в уравнение (1). При этом надо пользоваться правилом вычисления производной сложной функции: на­пример, если то здесь f' — это производная функций f по ее единственному аргументу. Аналогично получаем и подстановка в (1) дает

Так как равенство приводит к неинтересному решению то

тогда как функция f остается произвольной. Итак, вдоль стержня могут проходить бегущие волны любой формы в обоих направлениях со скоростью а. Заодно мы выясни­ли смысл параметра а, введенного в п. 3.8.2. Добавления формально: оказалось, что это — скорость распространения волн вдоль стержня, другими словами — скорость звука в стержне.

Tак как уравнение (1) линейное однородное, то сумма его решений всегда является решением того же уравнения. Поэтому сумма

(3)

волн, бегущих в положительном и отрицательном на­правлениях, является решением уравнения (1). Ока­зывается, что в таком виде, подобрав функции f1 и f2, можно представить любое решение этого уравнения, т. е. формула (3) дает общее решение уравнения (1).

Иной характер имеют бегущие волны для телеграфного уравнения в варианте (Д.9) (см. Добавление, п. 1в). Подста­новка приводит к уравнению для f:

При k > 0 этому уравнению удовлетворяет уже не любая функция f. Именно еслито решение имеет вид

где А и φ — произвольные постоянные. Для | с| > а решение имеет вид суммы двух экспонент и безгранично возрастает по модулю при или при что не подходит по смыслу задачи. Таким образом, бегущие волны имеют форму синусоиды, причем волна, бегущая со скоростью с, имеет длину

(Фактически волна, бегущая вдоль линии, затухает из-за множителя в формуле (Д.8).)

Мы видим, что линия пропускает только волны, длина которых находится в интервале причем волна с длиной λ распространяется с «фазовой скоростью»

меньшей, чем «групповая скорость» а распространения сиг­нала вдоль линии. Зависимость фазовой скорости от длины волны (или от частоты приводит к искажению формы сигнала общего вида, получающегося при наложении гармонических колебаний при его прохождении вдоль по линии. Исключение составляют «линии без иска­жения», для которых k = 0, т. е. (см. Д.10)), а потому с не зависит от λ и искажения не происходит.

Для других уравнений с частными производными не всегда удается найти решения типа бегущей волны и тем более построить с помощью таких волн общее решение. Тем не менее, когда такие волны удается найти, они могут дать весьма полезную информацию о характере изучаемого про­цесса. Отметим, что иногда бегущие волны ищутся в более общем виде или это

означает, что волна в процессе своего развития меняет амплитуду в зависимости от времени или от геометрической координаты.

Решением типа стоячей волны называется решение вида

(4)

Смысл такого решения также легко уяснить. Если известен график функции (моды колебаний), то в каждый момент t график зависимости и от х получается из него растяжением вдоль оси u. Коэффициент растяжения меняется во времени, но точки, в которых («узлы»), все время остаются на месте, а в точках экстремума функции ψ (это «пучности») зависимость и от х все время имеет экстремумы.