Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 25 )

В то же время совокупности выражений логики вы­сказываний, с одной стороны, и теории контактных схем, с другой — можно рассматривать в качестве конкретных интерпретаций (представлений, моделей, реализаций) исчисления высказываний, получаемых в результате при­писываний «бессодержательным» формулам исчисления высказываний некоторого «смысла»: в первом случае в терминах высказывания (предложений, суждений, утверждений) и форм высказываний, во втором — в тер­минах контактных электрических схем.

Наконец, для каждой из трех рассматриваемых систем можно предложить арифметическую интерпретацию, в которой каждой формуле исчисления (выражению логики высказываний) ставится в соответствие некоторая ариф­метическая «булевская функция», аргументы которой, так же как и она сама, принимают два значения, обозна­чаемые обычно (хотя вовсе не обязательно) через 0 и 1. Одно из этих значений, например 0, отождествляется с истинностным значением «истина», другое — с истин­ностным значением «ложь». Доказуемой формуле исчи­сления высказываний (соответственно тождественно-истин­ной формуле логики высказываний или «эквивалент­ной» ей в указанном выше смысле электрической схеме) тогда будет соответствовать функция двух аргу­ментов, тождественно равная нулю, а опровержимой (соответственно тождественно-ложной, никогда не про­пускающей ток) — функция, тождественно равная еди­нице. Если А и В — некоторые формулы (высказывания), а А' и В' — соответствующие им функции, то формулам (высказываниям) и соответствуют, арифметические функции 1 — А', А'В', А' + В' —А'В' и 1 — А' — А'В1, а дедуктивной эквивалентности формул (содержательной эквивалентности высказываний) А и В — равенство А' = В'. (Что касается электрических схем, то можно было бы описать аналогичные правила ин­терпретации, но, чтобы не загромождать изложение, мы просто сопоставим каждой схеме ту же арифметическую функцию, которая сопоставлена соответствующей этой схеме логической формуле.)

Таким образом, мы имеем четыре совершенно различ­ные по своей «природе», но в то же время «одинаково устро­енные» системы объектов: элементами первой являются фор­мулы (т. е. полученные по некоторым чисто формальным правилам «знакосочетания», комбинации символов, элементами второй — высказывания (и формы выска­зываний), третьей — контактные электрические схемы, четвертой — булевские функции. Отношение между каж­дыми двумя из этих четырех систем есть изоморфизм, и каждая из них с равным правом может считаться «мо­делью» для любой из остальных. Плодотворность этого обстоятельства общеизвестна. (Стоит, пожалуй, здесь же указать еще, по крайней мере, на две системы объектов, также могущие находиться в одном из двух состояний (возбуждение — торможение, пропускание — непропускание импульса и т. п.) и естественнейшим обра­зом «кодируемые» в терминах любой из четырех пере­численных изоморфных систем: это система нейронов и синапсов головного мозга или абстрактной «нейронной сети» и разряды ячеек и элементы памяти электронно-вы­числительных машин. Констатация изоморфизма пере­численных здесь систем — это, можно сказать, «резюме» всей кибернетики.)

5. Уже предыдущий, имеющий исключительное значение для науки (и не только науки!) пример не только нагляднейшим образом поясняет, что такое изоморфизм, но и показывает, что традиционно противопоставляемые подчас друг другу «экспериментальный» и «теоретический» (расчетный) методы научного исследования основаны по существу на одной и той же идее: идее моделирования. Из этого же примера (а в еще большей мере — из добав­ления к нему, сделанного в скобках) ясно и то, что поня­тие изоморфизма может включать в себя не только «тож­дество структуры», но и «тождество функционирования». (Это становится совсем очевидным, как только мы уясним, что «функционирование» системы можно представить как «частный случай» структуры, добавив в описание каждого элемента системы еще один аргумент — время. Впрочем, с содержательной точки зрения, которой мы здесь придер­живаемся, все же естественнее обратное «сведение»: «струк­тура» — это «функционирование» не меняющейся во вре­мени системы.)

Это обстоятельство особенно просто усматривается из следующего примера, предложенного Эшби, также играющего фундаменталь­ную роль для дальнейшего изложения. Представим себе механическую систему, состоящую из горизонтальной вращающейся на опорах оси, продолжением которой служит пружина, в свою очередь могущая передавать вращение массивному маховику, нижняя часть которого погружена в ванночку с вязкой жидкостью, и жестко свя­занному с маховиком горизонтального вала. Если по­вернуть (скажем, с помощью рукоятки) ось, то система начинает совершать крутильные колебания. Положения «входной» оси и «выходного» маховика могут при этом отмечаться прикрепленными к ним стрелками на верти­кальных шкалах-циферблатах. Рассмотрим теперь систе­му совершенно другой природы — электрическую, «вхо­дом» которой служит потенциометр или какой-либо дру­гой прибор, дозирующий напряжение (указываемое на входной шкале), соединенный последовательно через индуктивность, активное сопротивление и емкость с «вы­ходом» — счетчиком электрической энергии (также снаб­женным шкалой); система эта также представляет собой, очевидно, колебательный контур.

Если подобрать значения индуктивности, сопротив­ления и емкости так, чтобы они определенным (причем очень простым) образом соответствовали упругости пру­жины, инерции маховика и трению жидкости, то наши системы обнаруживают замечательное функциональное сходство: прилагая к их «входам» одинаковые (численно) последовательности значений, мы увидим, что на «вы­ходах» также зафиксируются равные последовательности показаний! Если теперь закрыть непроницаемыми кожугами центральные части обеих систем, т. е. всё, кроме входных и выходных шкал, то (при условии, что входные значения могут быть заданы соответствующими поворо­тами рукояток) системы окажутся практически неотличи­мыми: никакая, сколь угодно длинная серия испытаний по схеме «вход — выход» («стимул — реакция», как ска­зал бы физиолог) не дает нам возможности установить при­роду «начинки» наших черных ящиков (механическая или электрическая), хотя, конечно, закон функционирования любого из них (а тем самым—посредством «моделирова­ния» — и другого) такими экспериментами установить можно (ведь любое экспериментальное исследование про­ходит именно по такой схеме).

Наконец можно отметить, что обе наши изоморфные системы описываются одним и тем же линейным диффе­ренциальным уравнением второго порядка

с постоянными коэффициентами, так соответствующи­ми параметрам любой из описываемых им систем, что закон зависимости его «выхода» z от «входа» w в точности тот же самый, что в обеих колебательных системах. Каждая из трех изоморфных (или «изофункциональных») систем может играть роль «модели» для остальных: «модели»-уравнения — основное орудие исследования в мате­матическом естествознании; электрические «аналоговые» модели получили большое распространение для модели­рования физических процессов «в натуральном времени».

6. Сказанное позволяет без дальнейших комментариев говорить об изоморфизме (относительно не­которых фиксированных наборов свойств и отношений) таких разнородных пар, как местность и ее специализи­рованные (геологические, метеорологические, этногра­фические...) карты, симфония и ее запись на грампластин­ке, коллектив предприятия и список анкет всех работаю­щих на нем, животное и его чучело...

Особенно важный пример — это соответ­ствие между некоторой областью реальной действитель­ности, описывающей эту область содержательной на­учной теорией, и формальной системой, являющейся ре­зультатом формализации последней.

7. Однако именно этот последний «пример» при более внимательном рассмотрении по­буждает говорить не об одном, а о двух различ­ных (причем различных весьма радикальным образом) отношениях между двумя различными же парами множеств предметов. Первое из них — это соответствие между реальностью и более или менее полной и точной совокупностью образов этой реальности, возникающих в нашем сознании (иначе говоря: отражением реальности). Второе соответствие — это соответствие между совокуп - ностью наших содержательных представлений о Мире и ее описанием в точных терминах.

Что касается второго соответствия, то, поскольку речь идет о системах существенным образом конечных (хотя, быть может, и очень больших), на которых определены конечные же наборы свойств и отношений, то здесь в принципе можно (а в некотором смысле и должно) рассчитывать на «абсолютный» (относительно всех этих свойств и отношений) изоморфизм. Более того, такой изоморфизм (адекватность описания Мира) в сущности и является целью каждой естественнонаучной теории.

Гораздо сложнее обстоит дело с первым из упомянутых соответствий. Предположение о конечности (или даже хотя бы «алгорифмической исчерпаемости») исходной об­ласти заставило бы нас (особенно при допол­нительных гипотезах об изоморфном характере рассмат­риваемого соответствия, но, в общем, и независимо от таких гипотез) принять метафизическую схему типа вит-генштейновской. Поскольку полнота и точность воспроизведения внеш­него мира в человеческом сознании всегда относительны, (а о «взаимной однозначности» вообще не может быть речи), то соответствия между сколько-нибудь обширными совокупностями предметов внешнего мирa и их образами в человеческом сознании никоим образом не могут быть изоморфными (даже относительно самых «скромных» на­боров атрибутов), а должны носить более общий харак­тер.

2.4. Гомоморфиз­м

Это более общее, чем изоморфизм, отношение, о кото­ром упоминалось в конце предыдущего параграфа, называ­ется гомоморфизмом.

Имея строгое, формальное опредедение понятия изо­морфизма, представляется возможным, несколько изменив условие, полу­чить столь же строгое определение понятия гомоморфиз­ма. (Столь же нетруден и обратный переход.) Поскольку наша цель — не дефиниции (их можно найти в любом учебнике, во всяком случае приме­нительно к интересующим математиков конкретным клас­сам изучаемых ими систем), а, так сказать, выявление всей «подоплеки» понятия, мотивов его введения, содер­жательного смысла, взаимоотношения с родственными (не обязательно математическими!) понятиями, в конечном счете — методологических, гносеологических функций, то мы начнем с эвристических рассмотрений, носящих подчеркнуто содержательный, а потому и нестро­гий характер. «Перевод» этих рассмотрений на строгий язык дефиниций будет далеко не столь очевиден, как в случае изоморфизма. Эта трудность сама по себе чрезвычайно характерна для этого понятия.