Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 67 )

Пусть -проекция на первый сомножитель. Очевидно, композиция нерегулярна. Следовательно, мы можем считать, что

(в) - открытое множество в причем х = 0;

(г) композиция есть проекция на первый сомножитель.

Таким образом, морфизм φ имеет следующий вид:

Наконец, мы можем считать, что ранг постоя­нен (именно равен р) на всем Докажем, что отображение ψ не зависит от х2 в некоторой окрест­ности нуля. Для этого заметим прежде всего, что В противном случае морфизм φ имел бы в точке (х1, х2) ранг, строго больший р. Наше утвер­ждение вытекает теперь из следующей леммы.

Лемма. Пусть - аналшчческая функция, такая, что Если поле k имеет нулевую характеристику, то функция f локально не зависит от аргумента, пробегающего сомножитель U.

Доказательство леммы. В окрестности нуля функция f представляется степенным рядом Равенство означает, что для всех α. Нам надо показать, что где Задача, таким образом, свелась

к случаю Мы можем считать теперь, что Из свойств степенных рядов и равен­ства вытекает, что где Но так как характеристика поля k равна нулю,если т. е. функция f постоянна, и т. д.

Для того чтобы закончить доказательство теоремы, представим морфизм φ как композицию морфизмов

Очевидно, первый морфизм корегулярен, а второй регулярен. Теорема доказана.

Следствие 1. Предположим, что поле k имеет нулевую характеристику. Тогда множество точек в которых морфизм локально линеен, всюду плотно в X.

Доказательство. Обозначим указанное мно­жество через X' и положим Согласно предыдущей теореме, функция f локально постоянна на X'. Наше следствие вытекает теперь непосред­ственно из двух очевидных свойств функции f:

а) она принимает целочисленные значения и локально ограничена;

б) она полунепрерывна снизу.

Следствие 2. Предположим, что поле k имеет нулевую характеристику и отображение φ инъeктивно. Тогда множество точек в которых морфизм φ регулярен, всюду плотно в X.

Это вытекает из следствия и того факта, что инъективное локально линейное отображение регу­лярно.

3.5.11. Конструирование многообразий. Прообразы

1. Принцип единственности. Теорема 1. Пусть X — топологическое пространство, А и В — два его пол­ных альбома. Обозначим через ХА (соответственно ХВ) аналитическое многообразие, определенное в про­странстве X альбомом А (соответственно альбомом В). Следующие условия эквивалентны:

(1) т. е.

(2) для любого многообразия Y

(3) для любого многообразия Y

Доказательство. Настоящая теорема есть частный случай общей теоремы, согласно которой функтор определяет объект однозначно с точностью до изоморфизма. Тем не менее мы приведем доказа­тельство ввиду его простоты.

Импликация ) очевидна.

Покажем, что Положим Очевидно, тождественное отображение является морфизмом; аналогично морфизмом является также отображение Значит, альбомы А и В согласованы и, следовательно, совпадают, поскольку они полны.

Доказательство эквивалентности также просто.

Сформулируем теперь две леммы, которые пона­добятся, когда мы будем применять предыдущую теорему.

Пусть — морфизм двух многообразий, Z — произвольное третье многообразие.

Лемма 1. Пусть f - регулярный морфизм. Ото­бражение является морфизмом тогда и только тогда, когда

(1) отображение g непрерывно;

Лемма 2. Пусть f — корегулярный морфизм. Тогда

(1) отображение f открыто; в частности, множество f(X) открыто в Y;

(2) если f(X) = Y, то

Леммы 1 и 2 непосредственно следуют из локаль­ного описания регулярных и корегулярных морфизмов, данного в 3.5.10.

2. Прообразы. Пусть X — топологическое простран­ство, Y — многообразие и — непрерывное ото­бражение.

Теорема 2. Пусть пространство X можно снаб­дить структурой аналитического многообразия, так чтобы отображение f было регулярным морфизмом. Тогда эта структура единственна.

Доказательство. По лемме 1 для всякого многообразия Z множество определяется лишь топологической структурой пространства X и аналитической структурой многообразия Y. Следова­тельно, согласно теореме 1, структура многообразия в пространстве X определена однозначно, ч. т. д.

Пусть х X. Мы скажем, что пара (X, f) удовле­творяет условию (Im) в точке х, если

(Irn) существуют открытая окрестность U точки х в пространстве X,

модуль (V, φ, п) многообразия Y и линейное подпространство

такие, что

Если это условие выполняется для всех точек то мы скажем, что пара (X, f) удовлетворяет усло­вию (Im).

Теорема 3. Следующие условия эквивалентны:

(1) в пространстве X существует структура анали­тического многообразия, относительно которой ото­бражение f является регулярным морфизмом;

(2) пара (X, f) удовлетворяет условию (Im).

Доказательство. Импликация следует из теоремы 1 п.3.5.10.

Покажем, что, обратно, Выберем открытое покрытие пространства X, такое, что для каждого индекса найдутся модуль и линейное подпространство удовлетворяющие следующим двум условиям: