Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 1 )

Парадигма развития науки

Методологическое обеспечение

А. Е. Кононюк

ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Книга 1

Начала

Часть 1

Киев

Освіта України

2012

УДК 51 (075.8)

ББК В161.я7

К 213

Рецензент: - д-р техн. наук, проф. (Национальный авиационный университет).

Е.

К65 Обобщенная теория моделирования. Начала. К.1.Ч.1

К.4:"Освіта України", 2012. - 602 с.

ISBN 978-966-7599-50-8

Настоящая работа является систематическим изложением обобщенной теории моделирования. Основное внимание уделя­ется идейным основам теории моделирования, их сравнительному анализу и примерам использования. Рассмотрен значительный круг задач моделирования — от общих задач моделирования до частных задач моделирования, а именно: моделирование объектов по выполняемым функциям, по составу, по структуре, по форме, по организации, по управлению. Об­суждается методика постановки и решения проблем моделирования. Рассматриваются средства математического описания объектов и процессов моделирования. Описываются системы автоматизированного моделирования.

Работа предназначена для магистров, аспирантов, докторантов, инженеров, экономистов, статистиков, вычислителей и всех тех, кто сталкивается с задачами моделирования, прежде всего, математического.

ББК В161.я7

ISBN 978-966-7599-50-8 ©А. Е. Кононюк, 2012

Оглавление

Предисловие……………………………………………………………….7

Ведение……………………………………………………………………11 1. Введение в моделирование……………………………………………14

1.1. Понятие модели и моделирования………………………………14

1.2. Требования к моделям……………………………………………19

1.3. Классификация моделей………………………………………….28

1.4. Основные понятия и принципы моделирования………………..39

1.5. Моделирование как метод познания.  Моделирование и его познавательная роль……………………………………………………...42

1.5.1. Моделирование как метод познания………………………... 42

1.5.2. Теория и эксперимент в познании……………………………44

1.5.3.  Моделирование и его познавательная роль………………...51

1.6. Развитие методов моделирования и теории эксперимента……...59

1.7. Классификация видов моделирования систем…………………...83

1.8. Этапы моделирования……………………………………………..96

1.9. Разновидности задач моделирования и подходов к их решению………………………………………………………………….103 2. Логико - алгебраические проблемы моделирования ……………….110

2.1. «Модели» и «Моделирование»…………………………………..110

2.2. Тождество и отождествление……………………………………119

2.3. Изоморфизмы……………………………………………………..121

2.4. Гомоморфиз­м……………………………………………………..128

2.5. Некоторые определения………………………………………….131

2.6. Последовательные усложнения схемы…………………………137

2.7. Факторизация……………………………………………………..150

2.8. Обобщенные гомоморфизмы…………………………………….167

2.9. Дополнительные определения…………………………………...175

2.10. Схема «отражения» в алгебраических терминах……………...177

2.11. Теоремы о гомоморфизмах……………………………………..179

2.12. О формуле Байеса……………………………………………….185

2.13. Последующие обобщения………………………………………188

2.14. «Огрубление» введенных понятий…………………………….190

2.15. О «предельных вариантах» схемы……………………………..193

2.16. О пределах применимости концепции…………………………198

2.17. Соотношение рассмотренной схемы с другими концепциями……………………………………………………………..207 3. Введение в математическое моделирование………………………..212

3.1 Основные понятия и принципы математического

моде­лирования…………………………………………………………..212

3.1.1. Понятие математической модели…………………………….212

3.1.2. Общая схема применения математики………………………213

3.1.3. Множественность и единство моделей………………………217

3.1.4. Требование адекватности……………………………………..218

3.1.5. Требование достаточной простоты…………………………..221

3.1.8. Некоторые другие требования………………………………..225

3.1.9. Иерархия моделей……………………………………………..227

3.2. Примеры некоторых классических задач математической

физики……………………………………………………………………229

3.2.1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса)………229

3.2.2. Общая задача Коши. Функция Римана……………………….235

3.2.3. Задача о промерзании (задача о фазовом переходе, задача Стефана)………………………………………………………………….247

3.2.4. Динамика сорбции газа………………………………………..253

3.2.5. Простейшие задачи для уравнения Шредингера…………….256

3.3. Аналитические функции как средства описания математических моделей…………………………………………………………………..268

3.3.1. Поля значений параметров математических моделей……….268

3.3.2.Аналитические функции……………………………………….271

3.4. Типы математических моделей…………………………………..281

3.4.1. Структурные и функциональные модели…………………….281

3.4.2. Дискретные и непрерывные модели………………………….284

3.4.3. Линейные и нелинейные модели……………………………...290

3.4.4. Линеаризация…………………………………………………..294

3.4. 5. Детерминированные и вероятностные модели. Другие типы моделей…………………………………………………………………..298

3.5. Модули, альбомы и многообразия математических моделей….299

3.5.1. Модули и альбомы математических моделей………………..299

3.5.2. Определение аналитического многообразия…………………301

3.5.3. Топологические свойства многообразий……………………..302

3.5.4. Примеры многообразий………………………………………..302

3.5.5. Морфизмы……………………………………………………...304

3.5.6. Произведения и суммы………………………………………...305

3.5.7. Ростки аналитических функций………………………………306

3.5.8. Касательное и кокасательное пространства………………….307

3.5.9. Теорема об обратной функции………………………………..311

3.5.10. Регулярные, корегулярные и локально линейные

отображения……………………………………………………………..311

3.5.11. Конструирование многообразий. Прообразы………………316

3.5.12. Конструирование многообразий. Фактормногообразия…...322

3.5.13. Добавления……………………………………………………326

3.6. Общие принципы построения математической модели………..335

3.6.1. Общие принципы построения модели………………………..335

3.6.2. О содержательной модели…………………………………….340

3.6.3. Формулирование математической задачи……………………342

3.6.4. Основные компоненты математических моделей…………..343

3.6.5. Сетевая структура математических моделей………………...350

3.6.6. Определение тандемной модели……………………………...355

3.6.7. Подбор эмпирической формулы……………………………...363

3.6.8. О размерностях величин………………………………………365

3.6.9. Подобие объектов……………………………………………..366

3.6.10. Конечные уравнения…………………………………………369

3.6.11. Уравнения для функций одного аргумента…………………374

3.6.12. Уравнения для функций нескольких аргументов…………..379

3.6.13. Задачи на экстремум с конечным числом степеней свободы…………………………………………………………………..383

3.6.14. Задачи на экстремум с искомой функцией………………….388

3.6.15. О применимости математического анализа………………...394

3.6.16. Ограничения на сложность мате­матических моделей…….398

3.7. Упрощения и уточнения…………………………………………..399

3.7.1. Рабочие гипотезы………………………………………………399

3.7.2. Упрощение уравнений…………………………………………401

3.7.3. Метод малого параметра………………………………………408

3.7.4. Регулярные и сингулярные возмущения……………………..413

3.7.5. Осреднение быстро колеблющихся исходных

зависи­мостей…………………………………………………………….417

3.7.6. Анализ влияния упрощений…………………………………...421

3.8. О решениях………………………………………………………...424

3.8.1. Распределение требований к точности моделирования систем…………………………………………………………………….424

3.8.2. Методы построения и исследования решений……………….427

3.8.3. Асимптотические разложения………………………………...430

3.8.4. Интегральные представления решений………………………435

3.8.5. Автомодельные решения……………………………………...439

3.8.6. Решения типа бегущих и стоячих волн………………………443

3.8.7. Фазовый портрет………………………………………………446

3.8.8. Обобщенные решения…………………………………………451

3.8.9. Выбор степени точности решения……………………………454

3.8.10. Выяснение точности решения……………………………….457

3.8.11. Особенности процесса решения содержательных задач…..461

3.8.12. О применении ЭВМ………………………………………….463

3.9. Математическое моделирование нелинейных объектов и

процессов………………………………………………………………..469

3.9.1. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения………………………..............................469

3.9.2. Математические модели теории нелинейных волн………….476

3.10. Методы самоконтроля…………………………………………...488

3.10.1. Прикидки……………………………………………………...488

3.10.2. Контроль размерностей………………………………………490

3.10.3. Другие виды контроля………………………………………..491

3.10.4. Роль примеров………………………………………………...494

3.10.5. О верификации модели………………………………………498

3.11. Распространенные ошибки……………………………………...500

3.11.1. Ошибки в выборе модели……………………………………500

3.11.2. Влияние интерполяции и экстраполяции…………………...502

3.11.3. Ошибки в выборе метода исследования…………………….505

3.12. Некоторые методы исследования математических моделей...506

3.12.1. Вариационные методы решения краевых задач и

определения собственных значений…………………………………...506

3.12.2. Некоторые алгоритмы проекционного метода……………..512

3.12.3. Метод конечных разностей………………………………….520

3.12.4. Асимптотические методы……………………………………537

3.12.5. Фракталы и фрактальные структуры………………………..557

3.12.6. Самоорганизация и образование структур. Синергетика…………………………………………………………...564

Добавления………………………………………………………………568

Литература………………………………………………………………590

Предисловие

Исследователь или инженер изучают математику для того, в первую очередь, чтобы уметь ее применять. Однако применение математики основано на понятии математичес­кой модели, которому в общем университетском курсе математики уделяют мало внимания. Построение и исследо­вание математических моделей важны для почти всех спе­циальных дисциплин и используют знания из них, поэтому ряд конкретных математических моделей подробно рас­сматривается в соответствующих курсах. Но имеются и об­щие соображения, которые могут оказаться небесполезными.

При исследовании и проектировании объектов можно выделить две основные группы процедур: анализ и синтез. Для синтеза характерно использование структурных моделей, для анализа — использование функциональных моделей. Как правило, анализ выполняется математическим моделированием. Математическое моделирование — процесс создания мо­дели и оперирование ею с целью получения сведе­ний о реальном объекте. Альтернативой математиче­ского моделирования является физическое макетирова­ние, но у математического моделирования есть ряд преимуществ: меньшие сроки на подготовку анализа; значительно меньшая материалоемкость, особенно при исследовании и проектировании крупногабаритных объектов; возмож­ность выполнения экспериментов на критических режи­мах, которые привели бы к разрушению физического макета, и др.