Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 121 )

где ρ — плотность стержня.

Считая закон упругости линейным:(это закон Гука, где Е — модуль Юнга для стержня), а сам стержень однородным, т. е. постоянными, и обозначив получаем отсюда уравнение

(Д.5)

Это одномерное волновое уравнение. При другом смысле букв оно описывает и другие волновые процессы в одномер­ных средах: колебания газа в трубке, поперечные колебания струны и т. д.

в. Телеграфное уравнение. Рассмотрим электрическую линию (провод) с распределенными параметрами, т. е. будем считать, что каждый участок (dx) этой линии обладает активным сопротивлением Rdx, индуктивностью Ldx и емко­стью Cdx; кроме того, будем считать, что возможна утечка тока в землю, причем проводимость этого участка для тока утечки равна Gdx. Параметры R, L, С, G будем считать

постоянными. Упомянутый участок схематически изображен на рис.1.

Pис.1

Обозначим и соответственно напряжение и силу тока в точке х в момент t. Баланс напряжений дает

С другой стороны, из сохранения количества электричества за время dt получаем

(Продумайте эти уравнения! Умение правильно действовать с дифференциалами, отбрасывая члены высшего порядка мало­сти — один из важнейших навы­ков для построения непрерывных математических моделей.)

Из выписанных уравнений после перехода к производным и сокращений получаем систему телеграфных уравнений

(Д.6)

Отсюда, продифференцировав первое уравнение по x и подставив вместо его выражение из второго уравнения, приходим к телеграфному уравнению (проверяйте все вы­числения!)

(Д.7)

Аналогичное исключение v вместо j из уравнений (Д.6) приводит в точности к тому же уравнению с j вместо v.

Будем считать, что т. е. R и G, но не L и С могут быть пренебрежимо малыми. Для упрощения уравнения (Д.7) сделаем подстановку

(Д.8)

Легко проверить, что при в уравнении для и производнаяпропадает и телеграфное уравнение приобретает вид

(Д.9)

где обозначено

В частности, при выполнении условия

(Д. 10)

уравнение (Д.9) превращается в волновое уравнение (Д.5).

2. Дельта-функция. Эта функция была введена анг­лийским физиком П. Дирaком и широко применяется в математике и ее приложениях. Дельта-функцию δ(х) можно получить, от­правляясь от любой функции δ1(0)≥0 (-∞<х<∞), для которой

и

Преобразуем график функции δ1(х): сожмем его в N раз к оси у и растянем во столько же раз от оси х. Мы получим функциюпримерный график которой при большом N показан на рис. 2, причем площадь заштрихо­ванной области равна 1.

Pис. 2

Дельта-функция δ(х) получается из δN (х) при N →∞, так что можно написать

(Д. 11)

Правда, этот предел понимается в некотором обобщен­ном смысле, который мы здесь не будем уточнять. Непосред­ственный переход к пределу в форму­ле (Д.11), который мы предоставляем читателю, приводит к значениям

однако указание только этих значений не оп­ределяет дельта-функцию полностью. (Этим она отличается от обычных функций, которые полностью опреде­ляются указанием своих значений; δ(х) — простейший пример «обобщенной функции».) Надежнее относиться к ней, помня о ее происхож­дении, т. е. рассматривать δ(х) как δ∞(х). Иногда это выра­жают словами: все отличные от нуля значения функции δ (х) принимаются в бесконечно малой окрестности точки х = 0, причем эти значения положительны и таковы, что

Отметим, что конкретный вид исходной функции δ1(х) при этом несуществен и что в силу последнего равенства, если величина х размерна, то размер­ность δ(х) обратна размерности х.

Физический смысл дельта-функции вытекает из ее опре­деления. Если х — декартова координата, отсчитываемая вдоль некоторой оси, то δ(х) есть плотность единичной массы (eдиничная масса безразмерна, она равна числу 1), распределенной по бесконечно малому интервалу, содержащему начало координат. Короче говорят, что это плотность единичной массы, сосредоточенной в начале ко­ординат. Поэтомуесть плотность массы т, сос­редоточенной в точке х = а. Аналогично рассматриваются сосредоточенные заряды, силы и т. п. Если же мы рассматриваем закон F(t) изменения силы во време­ни, то зависимость описывает единичный импульс (удар) в момент t = 0. Поэтому дельта-функцию называют также импульсной функцией.

Из определения δ-функции сразу следует, что

(Д.12)

Полученная функция аргумента х называется единичной или функцией Хёвисайда; будем ее обозначать Н(х). Это обычная (не обобщенная) кусочно-постоянная функция, заданная как таковая двумя формулами. Ее значение при х = 0 ча­ще всего бывает несущественно; впрочем, иногда полагают

Формула (Д. 12) приводит к заключению, что долж­но быть

(Д.13)

И действительно, в теории обобщенных функций это равенство обосновывается. Его неформальный смысл легко понять. В самом деле, вспомним о том, что в реальных ситуациях скачок у функции — это идеализация ее конеч­ного изменения на протяжении весьма малого интервала изменения аргумента. В частности, функ­цию H(х) можно считать идеализацией, упрощенным пред­ставлением функции при весьма большом N. Но производная последней, т. е.

при таком N приближенно представляет функцию δ(х), что и объясняет формулу (Д. 13). (Постройте графики функций и при N = 1 и при N = 10.)

В соответствии с формулой (Д. 13), для любой функции, имеющей конечные скачки (разрывы первого рода), про­изводная имеет дельта-слагаемые. Например, если

то эта функция имеет скачок, равный 6, при х = - 1 и непрерывна при х = 1, а потому где

Исходя из определения дельта-функции, нетрудно по­нять формулу

(Д. 14)

для любой функции f(x), непрерывной при х = с; для этого достаточно представить левую часть в виде суммы интегра­лов по интервалам и При рассмот­рении интеграла