Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 92 )

Приведем простой пример. Пусть поезд половину пути ехал со скоростью 10 км/ч, а вторую половину — со скоро­стью 70 км/ч; какова его средняя скорость? Если осреднять скорость по (по отношению к) пути, то получится ответ: 40 км/ч. Но такой ответ на поставленный вопрос неверен: когда говорят о средней скорости движения, подразумевает­ся, что осреднение производится по времени. А так как ин­теграл от скорости по времени есть путь, то равно отноше­нию пройденного пути L к полному времени движения, т. е.

Аналогичные недоразумения могут возникнуть при под­счете математического ожидания случайной величины, если нет ясного представления о том, как распределены вероят­ности в так называемом пространстве элементарных со­бытий — грубо говоря, о том, какие события являются равновозможными.

3.7.3. Метод малого параметра

Этот метод, называемый также методом возмущений, широко применяется в при­кладной математике, в частности, для уточнения решения, полученного из упрощенной модели, а также для выяснения погрешности этого решения; различным вариантам этого метода посвящена обширная литература. Удачный выбор формы для невозмущенного и возмущенного решений позволяет во многих случаях даже с помощью первого приближения получить решение с удов­летворительной точностью при сравнительно небольшой за­трате труда.

Задачи, при решении которых применяется метод малого параметра, бывают двух типов. В задачах первого типа малый параметр входит в саму их постановку и цель иссле­дования состоит в выяснении влияния этого параметра на решение; метод приводит к асимптотическим формулам, из которых видно это влияние.

Приведем пример. Пусть рассматривается система из двух тел одинаковой массы, связанных между собой и со стенками пружинами одина­ковой жесткости (рис. 1), и нас интересует влияние ма­лого трения, действующего только на одно из этих тел, на характер свободных колеба­ний системы.

Рис. 1

Отсчитывая координаты тел от их положений равновесия, приходим к системе дифференциальных урав­нений (проверьте!)

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

(1)

и нас интересует влияние коэффициента трения f на его решение.

Для более грубой модели, если трением пренебречь, задачу легко решить точно:

Первой паре решений отвечает движение тел в одинаковой фазе, а второй — в противофазе.

Теперь рассмотрим более точную модель (1) с помощью метода малого параметра в простейшем варианте, а именно строя решение в виде суммы ряда по степеням малого параметра f:

(2)

Так как р = а получается при f = 0, то где или это нулевое приближение. Отсюда

(3)

Подставляя выражения (2) и (3) в (1) и раскры­вая скобки, получаем после группировки членов с одинако­выми степенями f

(4)

Но если сумма степеннoго ряда равна нулю, то и все его коэффициенты равны нулю. Приравнивая нулю коэффициент при f, находим т. е. первое прилижение имеет вид

(5)

Мы видим, что в первом приближении малое трение, не влияя на частоту колебаний, порождает их экспоненциаль­ное затухание.

Найдем теперь следующую поправку. Для этого приравняем нулю коэффициент при f2 в (4), подставив в него най­денное значение b. После простых преобразований получаем

Подставляя и находим соответствующие значения с, откуда получаем второе приближение для кор­ней характеристического уравнения:

(6)

Таким образом, мы получаем поправку и к частотам коле­баний, правда, второго порядка малости. При желании раз­ложения (2) можно продолжить.

Тот же результат можно получить, применяя формулу Тейлора

где штрихами обозначены производные по f, а индекс нуль означает подстановку значения f=0. В силу нулевого приближения имеем Взяв производную от обеих частей (1) по f, получаем

(7)

подставив значение f=0, приходим к равенству

откуда после сокращений находим Аналогично, взяв производную обеих частей (7) по f и подставив f=0, находими т. д. (Проделайте это!)

Задачи второго типа, в которых применяется метод малого параметра, в своей постановке такого параметра не содержат и его приходится ввести, чтобы можно было при­менить данный метод. Для этого надо сначала «организо­вать» нулевое приближение, т. е. постараться так видо­изменить задачу, по возможности мало, чтобы ее решение можно было найти легко или сравнительно легко. После этого в видоизмененную задачу так ввести параметр, на­пример α, чтобы при получилась видоизмененная задача, а при некотором значении — исходная. За­тем надо решение задачи, включающей α, разложить по степеням этого параметра, после чего в полученном решении положить Если эту программу удастся осуществить, то при благоприятном стечении обстоятельств мы получаем в итоге решение исходной задачи.

Приведем пример. Пусть надо решить уравнение

(8)

коэффициенты которого считаются точными. Продемонст­рируем схему применения метода малого параметра (хотя стандартный метод Ньютона в этом конкретном случае эффективнее). Для этого заметим, что при х, близких к нулю, первые два члена сравнительно малы и потому для таких х в качестве уравнения для нулевого приближения можно взять

с очевидным решением Тогда возмущенное уравнение можно записать в виде

(9)

из которого уравнение (8) получается при (Отметим, что малость параметра относительна и то, что зна­чение считается малым, не должно вызывать недоу­мения: например, вместо α можно было бы написать 10β, тогда β менялось бы до 0,1. Истинным критерием малости параметра является практическая сходимость разложения, полученного в результате применения метода.)

Уравнение (9) определяет зависимость как неявную функцию. Имея в виду применение формулы Тейло­ра, проведем при дифференцирование обеих частей уравнения по α, обозначая производные штрихами:

При получаем

Отсюда по формуле Тейлора

При α = 1 получаем разложение искомого решения

(10)

Хорошая практическая сходимость полученного разложения (что распознается по его первым членам) подтверждает возможность считать значение α=1 малым, и мы получаем, таким образом, значение корня x1 = 0,101232. При желании можно продолжить разложение (10) и этим уточнить зна­чение x1.

При больших х в уравнении (8) сравнительно малыми оказываются два последних члена, поэтому за невозмущен­ное уравнение можно принять