Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 65 )

Полученная формула показывает, что эквивалент­ность двух кривых не зависит от выбора модуля. Кроме того, отсюда следует, что а это означает, что структура векторного пространства на множестве Сх тоже определена корректно.

Для того чтобы установить наличие канониче­ского изоморфизма между Сх и построим спари­вание (Спариванием двух векторных пространств V и V′ назы­вается билинейное отображение спаривание назы­вается невырожденным, если индуцированные им отображения суть изоморфизмы). Для этого рассмотрим вна­чале естественное спаривание сопоста­вляющее паре элементов элемент Стандартные выкладки, использующие координатную запись, показывают, чго такое спаривание индуцирует невырожденное спари­вание которое и позволяет отожде­ствить Сх с пространством, двойственным к прост­ранству

Замечания. 1. Спаривание ω можно интуитивно представлять себе просто как дифференцирование данной функции по направлению, касательному к данной кривой.

2. Если бы мы захотели ввести структуру вектор­ного пространства на множестве производных более высокого порядка так, как мы это делали для мно­жества Сх, то нас постигла бы неудача. Причина кроется в том, что производные более высокого по­рядка от композиции двух функций уже не зависят билинейным образом от производных этих функций.

Пример. Пусть X — конечномерное векторное про­странство V, тогда

Введем теперь два связанных между собой основ­ных понятия: дифференциал функции и касательное к морфизму отображение.

Пусть очевидно, Образ элемента в факторпространстве называется дифференциалом локальной функции f в точке х и обозначается

Пусть Значение v на элементеназывается производной локальной функции f no направлению v и обозначается или Элемент можно мыслить себе как линейную форму на пространстве

Каждая аналитическая функция, заданная в окре­стности точки х, определяет элемент кольца а вместе с ним линейную форму

Пусть даны два аналитических многообразия X и Y, морфизм и две точки такие, что Определим отображение

формулой

для всехи всех Можно определить отображение и через его транспозицию

именно для любогополагаем

Линейное отображение называют касательным отображением морфизма φ.

В частном случае, когда а φ — есть аналитическая функция f, имеем

В заключение рассмотрим несколько простых свойств касательных пространств произведений многообразий. Пусть X, Y — два анали­тических многообразия, и пусть Имеют место следующие две формулы:

Пусть, далее,— морфизм, для которого Отображение определяет два других отображения

и

удовлетворяющие соотношению

Отображения и называют частными производными морфизма φ по X и по Y соответственно.

3.5.9. Теорема об обратной функции

Пусть и — аналитические функ­ции, определенные в некоторой окрестности U точки х. Положим где Будем говорить, что набор определяет в точке х систему координат, если существует такая открытая окрестность что — модуль много­образия X в точке х.

Теорема 1 Следующие условия эквивалентны:

(1) набор определяет систему координат в точке х;

(2) дифференциалы образуют базис прост­ранства

Эта теорема является следствием другой, более общей теоремы.

Теорема 2. Пусть — морфизм двух многообразий, и пусть Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) φ — локальный изоморфизм;

(2) — изоморфизм;

(2')— изоморфизм.

Доказательство. Импликации и очевидны. Импликация следует из известной теоремы, поскольку рассматриваемый вопрос носит локальный характер.

Определение. Морфизм удовлетворяющий эквивалентным условиям теоремы 2, назы­вают наложением в точке х. Отображение φ, ко­торое является наложением в каждой точке называют просто наложением.

3.5.10. Регулярные, корегулярные и локально линейные отображения

Определение. Пустьи два морфизма. Будем говорить, что они локально подобны в точках и если существуют такие открытые окрестности точек соответственно и такие изоморфизмы и что