Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 63 )

4. Пусть X — топологическое пространство, и пусть

Предположим, что

а) все множества Uі открыты в X;

б) каждое подпространство Uі наделено структу­рой аналитического многообразия;

в) для любых і и j структуры аналитического многообразия, индуцированные на много­образиями совпадают.

Тогда в пространстве X существует единственная структура аналитического многообразия, индуцирую­щая на множествах Uі заданную структуру.

5. Прямая с „двойной точкой". Пусть Возьмем два экземпляра поля R и отождествим их во всех точках, кроме нуля:

Полученное многообразие X можно интерпретиро­вать как факторпространство. Для этого рассмотрим плоскость R2, расслоенную на прямые:

Если отождествить между собой все точки каждого слоя, то факторпространством будет обыкновенная прямая R. Выколем теперь из R2 начало координат и отождествим только те точки, которые лежат в связ­ной компоненте каждого слоя:

Факторпространством будет в точности прямая с двой­ным нулем.

Заметим, что построенное многообразие не является хаусдорфовым.

3.5.5. Морфизмы

Пусть X и Y — два аналитических многообразия. Отображение называется аналитическим отображением, или морфизмом, если

(1) отображение f непрерывно;

(2) отображение f „локально аналитично", т. е. существуют альбом А пространства X и альбом В про­странства Y, такие, что для любых двух модулей и композиция

аналитична (здесь

Замечания. 1. Условие 2 мы назвали „локальной аналитичностью", поскольку в координатной записи композиция задается набором п аналитических функций от m переменных.

2. Свойство непрерывного отображения f быть морфизмом не зависит от выбора альбомов А и В. Это можно показать примерно теми же рассужде­ниями, которые использовались при доказательстветого факта, что согласованность альбомов есть отно­шение эквивалентности.

Следующие формальные свойства морфизмов почти непосредственно следуют из определения.

1) Композиция морфизмов тоже является морфизмом.

2) Тождественное отображение является морфизмом.

3) Пусть заданы отображения и такие, что и Отображение f является аналитическим изоморфизмом в том и только в том случае, когда отображения f и g — морфизмы.

Сформулируем без доказательства следующий гораздо более глубокий результат.

Теорема. Пусть k — алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики и — морфизм аналитических многообразий. Для того чтобы ото­бражение f было аналитическим изоморфизмом, не­обходимо и достаточно, чтобы, оно было гомеомор-физмом.

Замечание. Утверждение теоремы неверно для Действительно, противоречащим примером может служить отображение задаваемое формулой

3.5.6. Произведения и суммы

1. Произведения. Пусть— конечное семейство аналитических многообразий. Обозначим через Аі альбом пространства Пусть

Положим

Очевидно, X — топологическое пространство и А — его альбом. Пространство X со структурой аналитического многообразия, определенной альбомом А, называется произведением многообразий

Легко проверяется, что справедливо обычное свой­ство универсальности произведения: для всякого многообразия Y

2. Сумма, или несвязное объединение. Пусть — произвольная совокупность многообразий. Обозначим через или несвязное объединение топологических пространств В пространстве существует единственная структура аналитического многообразия, согласованная с заданной структурой каждого много­образия Хі; такое аналитическое многообразие X назывем суммой, или несвязным объединением многообразий.

Легко проверяется, что справедливо обычное свой­ство универсальности суммы: для всякого много­образия Y

В добавлении 2 к этому разделу с помощью несвяз­ных объединений будет описано строение компактных аналитических многообразий, определенных над ло­кально компактным неархимедовым полем.

3.5.7. Ростки аналитических функций

Пусть и пусть — множество пар вида где U — открытая окрестность точки х и φ — аналитическая функция на U. Множество иногда называют множеством локальных функций в точке х. Мы введем в этом множестве отношение эквивалентности.

Будем говорить, что два элемента эквивалентны, если найдется такая открытая окрестность W точки х, что и Соответствующее множество классов эквивалентности обозначим через и назывем множеством

ростков аналитических функций в точке х, или локаль­ным кольцом точки х.

В множествеестественным образом вводится структура кольца. Пусть f и g — ростки функций в точке х, выберем их представителей и Положим Сумма ростков

f+g определяется как класс, содержащий пару а произведение — как класс, содержащий пару Легко проверяется, что эти определения корректны, т. е. не зависят от выбора представителей.

Имеем каноническое отображение сопоставляющее элементу пару где сα - аналитическая функция, принимающая всюду на X по­стоянное значение α. Это отображение индуцирует каноническое вложение которое превращает кольцов k-алгебру.