Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 54 )

Примеры. 1. Пусть Тогда

2. ПустьТогда

и

Теорема 3. Каждое неархимедово абсолютное значение поля рациональных чисел Q либо тривиально (т. е. для всех либо совпадает с одним из р-адических нормирований.

Доказательство. Предположим, что наше абсолютное значение нетривиально. Тогда найдется такое рациональное числочто

Из этого обстоятельства сразу вытекает существо­вание простого числа р соткуда (заметим, чтодля всех целых

Пусть и пусть числа п и р взаимно просты. Как известно, в этом случае можно найти целые числадля которых

Если предположить, чтото, учитывая неравенства и мы получим что противоречит определению абсолютного значения. Итак, для любых целых чисел п, взаимно тростых с р,

Всякое рациональное числоможно представить в виде

где п и п'— целые числа, взаимно простые с р. От­сюда где ч. т. д.

Следствие. Если k — поле, полное относительно неархимедова абсолютного значения, причем характеристика его равна нулю, то k содержит в качестве топологического подпространства либо поле Q с ди­скретной топологией, либо поле

3.3.2.Аналитические фнкции

Сначала определимся с символикой.

1. k будет обозначать поле, полное относительно некоторого нетривиального абсолютного значения, а — кольцо формальных степенных рядов от п переменных над k.

2. Мы будем обозначать

а) греческими букваминаборы целых чисел:

б) латинскими буквами наборы вещественных чисел:

в) латинскими буквами наборы элементов поля k:

3. Положим

4. По определению

(соответственно

(соответственно

Аналогичный смысл будет вкладываться в соотно­шения

5. Назовем

множество (замкнутым) полицилиндром радиуса r с центром в точке х;

множество открытым

полицилиндром радиуса r с центром в точке х.

Полицилиндрыи будем для краткости обозначать и соответственно.

Определение. Пусть

1) Мы скажем, что ряд f сходится в полицилиндре если

(1)

2) Мы скажем, что ряд f сходится в открытом полицилиндре если он сходится в каждом по­лицилиндре с

Лемма. (а) Если ряд сходится в полицилиндре то существует такая константа М, что

(2)

(б) Обратно, пусть существует такая константа М, что неравенство (2) справедливо для всех α. Тогда ряд f сходится в открытом полицилиндре и притом равномерно во всяком полицилиндре с

Доказательство. (а) В качестве константы М можно взять сумму которая по условию конечна.

(б) ПустьТогда

Таким образом, ряд f сходится равномерно в и, следовательно, сходится вЛемма доказана.

Эта лемма часто фигурирует в литературе под названием леммы Абеля.

Определение. Ряд называется схо­дящимся, если он сходится в некотором открытом полицилиндре

Пусть ряд сходится в Для вся­кого ряд сходится абсолютно (и равно­мерно в его сумма есть непрерыв­ная функция от х.

Л е м м а.

Доказaтельство. Пусть п=1. Предположим, чтоТогда

гдеи 0. Ряд сходится. Функция, определяемая этим рядом, отлична от нуля в точке х= 0, а потому (по непрерывности) и в некоторой окрестности U этой точки. Далее, функция Хт от­лична от нуля на множествеТаким образом, функция в окрестности U не равна тождественно нулю. Фактически при т>0 точка х = 0 есть изоли­рованный нуль функции