Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 39 )

3. Что и говорить: для прочтения «Hamlet»a нам не обойтись без английского — языка ли зрителей «Глобу­са», в объеме ли Оксфордского словаря или же, на худой конец, Basic — но, так или иначе, английского. Но что касается «прагматически настроенного» англичанина, ин­тересующегося лишь «запасом сведений», «сообщае­мых» в шекспировской трагедии, то его-то как раз вполне устроит «комикс» с комментариями на Basic English. И не будем торопиться иронизировать над ограниченностью этого воображаемого персонажа. Тем более, что он вполне реален! В самом деле, ведь это не кто иной, как Ученый, который (в отличие от Поэта с его почтенными, но ко мно­гому обязывающими претензиями) избрал своей специаль­ностью как раз составление (или хотя бы штудирование) комиксов по Книге Природы. Конечно, он (во всяком слу­чае, в служебное время) может не оценить лунного сия­ния, да, пожалуй, и самой-то луны не заметит, но что тут удивительного: он занят изучением Луны. И при всей очевидной ущербности, односторонности и не­полноценности позиции такого физика, занятого расчетом траектории корабля, направляющегося к Морю Спокой­ствия, лирик великодушно оценит его труд, особенно если не понадобится дополнительной коррекции (и даже быть может, напишет — уже в с в о е служебное время — поэ­му о нем).

А другой персонаж в той же роли — это как раз ал­гебраист, усматривающий самостоятельную ценность не только в теореме о гомоморфизмах и ее следствиях, но и во многих других предложениях своей науки, не испы­тывающий ни малейшей потребности в какой бы то ни было внеалгебраической семантике для истолкования своих (и чужих) результатов и столь же умеренно сочувст­вующий с трудом понимающему его нематематику, как русский интеллигент — англичанину, знакомому с «Оне­гиным» лишь по переводу Набокова, а то и вовсе Линдсея.

4. И, наконец,— философ, занимающийся методологией науки. Резонно полагая, что анализ содержания комиксов-гомоморфизмов, адаптирующих уже упомянутую Книгу Природы, есть обязанность представителей конкретных наук (тем более, что он все равно знает ее принципиальную неисчерпаемость такого рода гомоморфизмами, если, ко­нечно, не рассматривать всю их совокупность как постоян­ное периодическое научное издание), он сосредоточивает свое внимание на максимально полном учете возможных гомоморфизмов и классификации их форм.

И здесь-то и обнаруживается фундаментальная мето­дологическая функция теоремы о гомоморфизмах.

Если считать, что каждая научная теория (или любой относительно замкнутый фрагмент теории) представляет собой гомоморфный образ описываемого ею фрагмента действительности, то получается, что такая теория есть изоморфный образ некоторой «фактордействительности», т. е. совокупность классов (в том числе, быть может, и одноэлементных классов) отождествляемых (в резуль­тате некоторых абстракций) объектов, иначе говоря, со­вокупность абстрактных понятий, между которыми вво­дятся соотношения, индуцируемые отношениями, имею­щими место между исходными объектами. Другими сло­вами, сколь бы разнообразны ни были гомоморфные модели Мира (фактически частей Мира), все они так или иначе в некотором смысле не только «предопределены» объективными атрибутами этого Мира, но и содержатся в множестве всех его подмножеств.

Таким образом, любое «разумное» описание действи­тельности, как и следовало бы ожидать, исходя из «естест­венных» интуитивных представлений о ее адекватном от­ражении в процессе познания, по­тенциально «содержится» в самой этой действительности. Констатируя невозможность описаний Мира, которые бы­ли бы «правильными», но в то же время «посторонними» по отношению к нему (т. е. были бы, так сказать, почерп­нутыми из некоторого лежащего вне его рамок умозри­тельного источника), теорема о гомоморфизмах выражает своего рода принцип адекватности научных моделей.

Конечно, ни теорема о гомоморфизмах, ни какой бы то ни было иной умозрительный тезис не может претен­довать на роль критерия, являющегося в каком угодно сла­бом смысле достаточным условием адекватности теорети­ческого моделирования. Но признаком необходи­мым, невыполнение которого свидетельствует о заведомой неадекватности моделирования, условие, фигури­рующее в утверждении теоремы о гомоморфизмах, безус­ловно является. В самом деле, что, собственно, значит, что теория не соответствует описываемой ею области? что принципиально верифицируемое синтетическое суж­дение неверно? наконец, что понятие «образовано не­корректно»? Во всех этих случаях (для ясности полезно начать рассмотрение с последнего, к которому последова­тельно сводятся второй и первый) мы сталкиваемся с од­ной и той же ситуацией: некоторое отношение эквивалентности (вводимое, быть может, апри­орно, а быть может из соображений умозрительных или эмпирических, или и тех, и других вместе) не являет­ся конгруэнцией относительно отношений, свя­зывающих отождествляемые этим отношением объекты. Если обратиться вновь к не раз использовавшемуся выше примеру, то из подробной карты (о которой предполагается лишь, что она как-то «правильно» устроена - а как именно, не существенно) можно изготовить большое количество «правильно устроенных» подкарт (факторкарт) простым вычеркиванием некоторых деталей, но все же такое вычеркивание должно быть не совершенно произвольным.

Таким образом, хотя теорема о гомоморфизмах при­способлена для извлечения из нее конкретных естест­веннонаучных следствий не в большей степени, чем, на­пример, принцип достаточного основания, она (подобно, кста­ти, этому принципу) служит «щитом», ограждающим наши претендующие на (сколь угодно опосредованное) адек­ватное отражение Мира умственные конструкции от про­никновения в них бесплодных и бессодержательных спе­куляций. Конечно, установить, является ли какое-ли­бо конкретное отношение эквивалентности конгруэнцией, ничуть, вообще говоря, не легче (хотя и не труднее), чем решить вопрос о том, является ли некоторое отображение гомоморфизмом (это тривиальным образом следует из факта совпадения «условий стабильности» в определениях понятий конгруэнции и гомо­морфизма). Роль, которую играет теорема о го­моморфизмах для рассматриваемой нами области, во многих отношениях аналогична роли «основной теоремы алгебры» о существовании корней алгебраических уравнений (не дающей, как известно, никаких способов практического нахождения этих корней) или «основной теоремы арифме­тики» о существовании и единственности разложения произвольного натурального числа на простые сомножи­тели (из которой также не извлекается алгоритм такого разложения, сам по себе, впрочем, очень простой): фик­сируется не конструкция, а связь между основными по­нятиями теории. Поэтому мы рискнем присвоить этой тео­реме (с неизбежными оговорками, которым будут посвя­щены п. п. 2.12 и 2.16) наименование «Основной теоремы». Пользуясь лингвистической терминологией, эту Основную теорему можно выразить следующим образом:

Точность любого описания — это точность соглашения о неразличении отождествляемого.

2.12. О формуле Байеса

Термин «Основная теорема» употреблен выше с достаточно ясным пониманием вкла­дываемой в него меры условности. Насколько важным в действи­тельности оказывается значение теоремы о го­моморфизмах, как и всей развиваемой концепции в це­лом, станет ясным из обсуждения вопроса о границах их применимости (п.2.16). Но уже сейчас, во избежание недоразу­мений, придется сказать по этому поводу несколько слов.

Дело в том, что даже если согласиться, что теория познания действительно есть «теория» в том смыс­ле, в каком термин «(дедуктивная) теория» понимается в логике и методологии науки, и что в такой «теории» действительно есть некая «Основная теорема», то на этот почетный титул с не меньшим основанием, чем теорема о гомоморфизмах, могло бы претендовать еще одно предло­жение, относящееся к совсем другому аспекту познания. Имеется в виду так называемую формулу Байеса (или теорему Байеса), связывающую вероятность некоторого события с его априорной вероятностью и устанавливаемой в ходе серии опытов относительной частотой наступления этого события:

Здесь — априорные вероятности «гипотез» Ні (взаимоисключающих событий, составляющих в совокупности «полный набор событий» каждая из которых могла бы претендовать на «объяснение» некоторого достовер­ного, т. е. имеющего в пределах данной серии испытаний единичную вероятность, события А, — экспериментально определяемые условные вероятности (отно­сительные частоты) события А при выполнении соответст­вующих гипотез (условий) Ні, — условная вероятность гипотезы Hі при условии наступле­ния события А, т. е. степень достоверности, могущая быть приписанной именно гипотезе Hі в качестве объяснения события А.

Именно формула Байеса позволяет не только дать точную количественную оценку каждому утверждению вида «опыт А подтверждает теоретическое предположение В», но и, что еще существеннее, понять подлинный смысл лю­бого такого утверждения. Ведь никакая, сколь угодно длинная, серия экспериментов, независимо от степени их «совпадения» (всегда лишь относительного), не может ни в какой мере «подкрепить» (не говоря уже о «подтвержде­нии») какую бы то ни было гипотезу до того, как эта гипотеза в явном виде сформулиро­вана!

Скажем, серия из пяти пар значений показаний вольт­метра и амперметра, отношения четырех из которых рав­ны друг другу, а пятое имеет какое-то иное значение, лишь тогда сможет рассматриваться в качестве основания для принятия закона Ома, когда будет в явном виде сформу­лирована гипотеза «А не пропорционален ли ток при посто­янном сопротивлении разности потенциалов между кон­цами цепи?»— ведь если мы заранее не «вооружились идеей пропорциональности», у нас нет еще никакого ре­зона называть данные пары чисел «отношениями»! Иначе говоря, выработка абстрактного понятия «пропорцио­нальности» (т. е. некоторый акт «отождествления», ср. выше, п. п. 2.2 и 2.6) должна предшествовать интерпретации опыта. Здесь умест­но напомнить о не раз уже отмечавшемся выше обстоятельстве, состоящем в том, что любая эмпирически полученная последо­вательность данных может быть «объяснена» бесконечным мно­жеством «законов».