Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 112 )

Другой пример приведем. Приходя утром на работу, человек замечал, что пол его комнаты влажный, так как уборщица его протирала мокрой тряпкой перед началом работы. Как-то, включив сразу же вен­тилятор, человек обратил внимание на то, что вскоре та половина пола комнаты, где стоял вентилятор, совершенно просохла, тогда как другая половина пола еще оставалась сырой. Человек решил, что это явление связано с воздушным потоком, создаваемым вентилятором, и попробовал про­извести проверочные прикидки, но по прикидкам необ­ходимая мощность вентилятора оказалась непомерно боль­шой. Вопрос разъяснился, когда то же явление было обнару­жено и при неработающем вентиляторе: попросту выяс­нилось, что смочив тряпку один раз, уборщица протирала ею весь пол в определенном порядке и потому одна половина пола оказывалась смоченной сильнее, чем другая. Таким образом, в этом примере модель была основана на первой попавшейся на глаза причинно-следственной связи, бескон­трольно принятой за основную, что и привело к грубой неадекватности модели явлению.

Сходный характер имеют случаи, когда не учитывается влияние факторов, которые по тем или иным причинам (например, из-за относительной малости характеризующих их параметров) считаются второстепенными, но на самом деле являются существенными, иногда даже определяющими для изучаемого свойства. Так, расчет так называемых ста­тически неопределимых систем (например, балки, лежащей на трех жестких опорах) был невозможен, пока не поняли, что математическая модель такой системы должна сущест­венно учитывать возникающие в ней малые деформации.

Модель может оказаться неадекватной также из-за того, что при ее построении была применена схема (круг пред­ставлений, понятия и их связи), разработанная и адекватная для иной области явлений, к которой изучаемое явление не относится; гипотезы, на которые опирается модель, могут в изучаемой ситуации быть необоснованными или даже не­справедливыми. Пример такой ошибки — применение ла­минарной модели течения жидкости в условиях, когда на самом деле это течение турбулентно. Другим примером может служить незаконная попытка провести аналогию меж­ду расчетами балки на равномерно распределенную статиче­скую нагрузку и равномерно распределенную импульсивную нагрузку: в действительности зависимость прогиба балки и изгибающего момента от параметров балки в этих случаях принципиально различна.

Поучительна история внедрения в практику формул для устойчивости стержневых систем. Первые формулы для критической нагрузки при сжатии упругих стержней получил еще Эйлер в 1757 г., однако они долгое время представляли лишь академический интерес. Практическая заинтересованность в вопросах устойчивости стержневых си­стем пробудилась в середине XIX века в связи с массо­вым строительством больших железнодорожных мостов. При этом Ходкинсон провел серию экспериментов, которые дали значения критической нагрузки в несколько раз меньше, чем получается из формул Эйлера. Только в конце XIX ве­ка выяснилось, что в этих экспериментах потеря устой­чивости стержней (довольно коротких) происходила за пре­делами пропорциональности, при пластических дефор­мациях, не учитываемых в выводе формул Эйлера. Та­ким образом, стала ясной область применимости модели Эйлера и эта модель в дальнейшем нашла практическое применение.

Конечно, всякое сколько-нибудь существенно новое ис­следование требует выхода за рамки уже испытанной об­ласти и это влечет за собой некоторую возможность ошибки; разумный риск здесь необходим. Однако, как мы уже го­ворили, нужно стараться видеть слабые места в рассуждении, чтобы в случае необходимости произвести соответствующие коррективы или даже полностью изменить модель.

Неадекватность, особенно количественная, математиче­ской модели может проистекать также от чрезмерных, вы­ходящих за допустимые рамки упрощений моделируемого объекта — упрощений геометрических форм, исходных за­висимостей одних величин от других (или даже замены неизвестных зависимостей на придуманные) и т. п. Труд­ность состоит в том, что упрощения необходимы, но до­пустимо ли то или иное конкретное упрощение, заранее далеко не всегда бывает ясно.

3.11.2. Влияние интерполяции и экстраполяции

При пост­роении и исследовании математических моделей нам посто­янно приходится пользоваться различными зависимостями между величинами — как исходными, в том числе эм­пирическими зависимостями, так и получающимися в про­цессе исследования. При этом широко применяются интер­поляция и экстраполяция, которые могут как существенно помочь исследованию, так и оказаться источником ошибок.

Самые грубые задачи интерполяции возникают при под­боре эмпирической формулы по данным измерения. Здесь надо предостеречь от формального, слепого подбора такой формулы только по измеренным значениям. Выбор вида формулы (многочлен, степенная функция, экспонента и т. д.) должен опираться на теоретическое обсуждение раз­личных свойств изучаемой зависимости. После этого выбора параметры, входящие в формулу, можно найти по методу наименьших квадратов или как-либо иначе. При этом применяемый метод должен быть устойчивым отно­сительно возможных ошибок измерения.

Приведем пример. Пусть измерение величины у в зави­симости от величины х дало следующие результаты:

(соответствующие точки показаны на рис. 1 кружками), причем в значениях у допускалась погрешность до 0,05.

Рис. 1

Как известно, по четырем значениям можно подобрать многочлен 3-й степени, который точно принимает эти значения. В данном случае этот многочлен f(x) имеет вид (коэффициенты выписа­ны с точностью до 0,01)

а его график показан на рис. 1 штриховой линией. Как видим, поведение этого многочлена при 0,2 < х < 1,0 совершенно не выте­кает в качественном отношении из заданных условий и «шатание» зна­чений у в рамках допускаемой погрешности может существенно из - менить его значения на этом интервале. Существенно боль­шее доверие в данном примере вызывает многочлен первой степени найденной по методу наименьших квадратов.

Подсчет дает, что

соответствующий график показан на рис. 1 сплошной ли­нией. Отклонения значений от измеренных не превы­шают 0,048, т. е. находятся в допустимых пределах.

Специального внимания требуют возможные особенно­сти изучаемой зависимости — разрывы, острые экстремумы и т. п., которые могут оказаться определяющими, тогда как при «слепом» интерполировании их можно не заметить. (Например: пусть известно количество писем, доставленных в городе Н. 15 ноября и 14 декабря 1990 г., а также 15 янва­ря и 15 февраля 1991 г.; можно ли с помощью простой интерполяции приближенно определить количество писем, доставленных 31 декабря 1990 г.?) Это также делает суще­ственным предварительный или попутный теоретический неформальный анализ реальной зависимости. Он часто дает возможность предвидеть появление подобных особенностей и так направить подбор эмпирических данных и интерпо­ляционной формулы, чтобы получить правильное описание этой зависимости. Отметим, что во многих задачах оказы­вается удобным использовать в качестве интерполирующих функции, заданные не единой формулой, а двумя или несколькими формулами, действующими на различных ин­тервалах изменения независимой переменной. Такой харак­тер имеет, в частности, широко распространившееся интерполирование с помощью сплайнов (см. До­бавление, п. 7).

Если при интерполяции обсуждение реального смысла исследуемой зависимости во многих случаях весьма полезно, то при экстраполяции такое обсуждение всегда является центральным, решающим элементом процедуры. Мы уже говорили, что интерполяцию одной и той же зависимости можно осуществить различными формулами. Но даже если эти формулы на интервале интерполирования дают близкие значения, то при удалении от него они могут приводить к принципиально различным результатам. Необоснованное распространение формул с исходного на существенно более широкие интервалы может приводить к вопиющим ошибкам, чему имеется много примеров. Особенно распространена формальная экстраполяция с помощью линейной функции или экспоненты, в основе чего лежит представление (не всегда явно высказываемое!) о неизменности тех или иных решающих факторов.

Таким образом, построение экстраполяционной форму­лы или дифференциального уравнения, решение которого должно экстраполировать исследуемую зависимость на сколько-нибудь значительное удаление от уже изученного интервала, возможно только при глубоком анализе влияния существенных факторов, их взаимодействия, усиления или ослабления при отходе от этого интервала и т. п.

3.11.3. Ошибки в выборе метода исследования

Одна из распространенных ошибок состоит в недостаточной целеуст­ремленности исследования. Это касается как случаев, когда исследователь не представляет себе четко, что он собирается искать, так и случаев, когда такое представление имеется, но движение к цели происходит по слишком извилистому пути и при этом добывается слишком много по существу ненужной информации. Конечно, при решении любой сколь­ко-нибудь сложной задачи получение избыточной инфор­мации неизбежно. Но разным методам свойственно порож­дать различные объемы такой информации, и это надо учитывать при выборе метода. Еще Лаплас сказал: чтобы выяснить, что после дождя трава будет мокрой, нет надоб­ности вычислять траектории всех капель...

Для уменьшения объема избыточной информации часто бывает полезным по возможности прямое изучение интег­ральных характеристик рассматриваемой системы и приме­нение различных интегральных соотношений — таких, как закон сохранения энергии и т. п. В этом смысле поучительны общие теоремы динамики механической системы; например, теорема о движении центра инерции не позволяет описать движение каждой из точек системы, но дает возможность получить интегральное представление о движении, во мно­гих случаях достаточное для приложений.