Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 82 )

Особую роль играют безразмерные величины. Их число­вые значения не зависят от выбора системы единиц.

3.6.9. Подобие объектов

Как известно, две геометрические фигуры подобны, если они имеют одинаковую форму, но, вообще говоря, различные размеры. Более точно это означа­ет, что длины любых линий на одной из фигур должны быть пропорциональными длинам соответствующих линий на дру­гой фигуре; при этом коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия. Например, у подоб­ных треугольников пропорциональны не только соответству­ющие стороны, но и соответствующие высоты, медианы и т. д., все с одним и тем же коэффициентом пропорциональ­ности. Поэтому пересчет длин при переходе от какой-либо фигуры к подобной фигуре равносилен тому, что мы остав­ляем без изменения численные значения всех длин, но меняем единицу длины в k раз, где k — коэффициент подобия. При этом все площади меняются в k2 раз, объемы (если фигура пространственная) — в k3 раз; безразмерные характеристики — углы, отношения сторон или каких-либо других длин и т. п.— у подобных фигур одинаковы.

Аналогично вводится понятие подобия в других дис­циплинах. Два объекта (в том числе состояния, процессы) называются подобными, если они отличаются только масш­табами основных размерных величин (в частности, для объектов механики — масштабами длины, времени и мас­сы). Более подробно это означает, что пересчет всех харак­теристик объекта при переходе от него к подобному объекту равносилен сохранению всех численных значений величин и замене единиц измерения основных размерных величин; при этом коэффициенты подобия по каждой из этих основ­ных величин, вообще говоря, различны. Отметим, что точнее было бы говорить о подобии моделей объектов, так как сами объекты могут обладать какими-либо добавочными харак теристиками, не включаемыми в модель; но мы не станем менять установившуюся терминологию.

Любая безразмерная комбинация величин, характеризу­ющих объект, должна быть равна такой же комбинации для любого подобного объекта. Подобие двух объектов обес­печивается совпадением для них основных безразмерных комбинаций из заданных параметров объекта; эти ком­бинации, называемые критериями подобия, выбираются так, чтобы они были независимыми (не выражались друг через друга), но чтобы через них выражались все остальные безразмерные комбинации параметров объекта. Если имеет­ся всего N независимых существенных параметров объекта, а основных размерностей п, то критериев подобия должно быть N — п.

Приведем примеры. Сначала рассмотрим подобие треу­гольников. Для треугольника имеется три независимых су­щественных параметра, которые его полностью определя­ют — это его стороны а, b, с. Так как они имеют одинаковую размерность, то условие подобия треугольников со сторонами а, b, с и а', b', с' таково: В данном случае N = 3, п = 1; поэтому здесь имеется 3 — 1=2 критерия подобия. За них можно выбрать или отношения и или отношение и угол С, или углы А и В; мы приходим к известным признакам подобия треугольников.

В качестве второго примера рассмотрим колебания мате­матического маятника без затухания. Здесь параметрами процесса можно считать длину l маятника, массу т груза, ускорение g силы тяжести и наибольший угол φ отклонения маятника от вертикали. Так как

и имеется три основных размерности, то N — п = 4 —3 = 1, т. е. критерий подобия только один; ясно, что это φ. Таким образом, колебания маятников с одинаковым значением φ подобны. Пусть нас интересует круговая час­тота ω колебаний. Так как то величина безразмерна, а потому для подобных процессов одинако­ва, т. е, зависит только от φ. Мы получаем формулу откуда

(1)

где — безразмерный коэффициент, зависящий толь­ко от f. Вид этой зависимости только из соображений размерности получить нельзя (можно доказать, что

Но и без этого из формулы (1) можно получить полезные следствия: мы видим, что частота колебания не зависит от массы груза; видим, как она зависит от l, а это дает возможность, зная частоту для одного маятника, пересчитать ее для другого и т. д.

Аналогично получается формула для подъемной силы Р при оплоском до­звуковом обтекании крыла, при выводе кото­рой надо учесть, что для плоской задачи Может возникнуть вопрос: почему существенно, что обтекание до­звуковое? Здесь дело в том, что на подъемную силу влияет также сжимаемость воздуха, которой можно пренебрегать лишь для сравнительно небольших скоростей v (скажем, до половины скорости звука). Для бóльших скоростей эту сжимаемость надо учитывать и можно проверить, что учет сжимаемости сводится к введению в число задаваемых пара­метров также и скорости а звука. Но тогда к критериям подобия, характеризующим форму профиля и направление набегающего потока, добавляется еще один — число Маха Таким образом, при скоростях потока, близких к скорости звука или бóльших ее, для подобия двух про­цессов необходимо также совпадение соответствующих чи­сел Маха.

Рассмотрим еще один пример. Пусть железнодорожная цистерна, частично заполненная жидкостью и катящаяся с постоянной скоростью v, внезапно останавливается, и нас интересует возникающее при этом движение жидкости. Если цистерна не имеет переборок и внутренней арматуры, то это движение поддается довольно точному расчету, в противном случае расчет затруднителен. Но можно провести наблю­дение на модели, изготовленной с точным соблюдением пропорций с геометрическим коэффициентом подобия kl. Возникают вопросы: какова должна быть скорость vM модели; нужно ли заменить жидкость; как пересчитать время фаз процесса с модели на натуру и т. д.

Эти вопросы решаются с помощью анализа размерностей. На первой стадии процесса, пока затуханием колебаний можно пренебречь, существенны только силы инерции и гравитации, а заданными параметрами, при точном соблю­дении геометрического подобия (включая сохранение ко­эффициента заполнения цистерны жидкостью), можно счи­тать характерную длину l цистерны, скорость v, плотность ρ жидкости и ускорение g земного тяготения. Для них имеется единственный критерий подобия, за который можно принять число ФрудаТаким образом, если мы хотим соблюсти подобие процессов, то, положив для модели мы должны положить и где Далее, мы видим, что плотность жидкости на данной стадии несущественна. Кроме того, обозначив буквой t время ка­кой-либо фазы процесса, получаем безразмерную комби­нацию равенство которой для модели и натуры при­водит к соотношению где откуда выводим формулу для пересчета времени:

Если мы рассматриваем больший промежуток времени, чтобы исследовать затухание колебаний, то надо учесть и вязкость жидкости. Эта вязкость характеризуется кине­матическим коэффициентом v, который надо причислить к заданным параметрам процесса. Так как то здесь появляется еще один критерий подобия — число Рейнольдса которое тоже надо сохранить при пере-

ходе к модели. Отсюда получаем, что должно быть где Таким образом, для соблюдения подобия вязкость в модели надо существенно уменьшить: например, если модель меньше оригинала в 10 раз, то кинематическую вязкость жидкости при переходе от ори­гинала к модели надо уменьшить в раза, что примерно соответствует переходу от нефти к воде. Отметим еще, что модель не должна быть слишком малой, чтобы в ней не стали играть существенную роль капиллярные силы. В самом деле, эти силы пропорциональны площади свобод­ной поверхности жидкости, т. е. квадрату линейного разме­ра, тогда как объемные силы пропорциональны кубу этого размера. Поэтому при уменьшении размеров капиллярные силы становятся преобладающими.