Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 81 )

В итоге структуру тандемной модели в общем случае можно представить в виде, показанном на рис. 1.

Рис.1. Сруктура тандесной модели.

Структура элементар­ных моделей на каждом уровне была приведена ранее на рис. 3 п.6.5.

На базе элементарных моделей путем их композиции могут быть сформированы различные тандемные модели. При этом, основываясь на представленной структуризации тандемных моде­лей, их формирование в целом может быть сведено к построению двухуровневых скалярных моделей, первым уровнем которой является некоторая элементарная модель а вторым — как правило, агрегированная модель. При этом, если т*, в свою очередь, входит в состав композиционной модели, являющейся вторым уровнем в другой, ранее сформиро­ванной тандемной модели, то путем подстановки вме­сто т* можно сформировать третий уровень этой модели и т. д.

Таким образом, базовая форма представления математических моделей (модулей) объектов характеризуется:

наборами переменных;

связями между этими переменными, непосредственно присут­ствующими в моделях, и связями идентификации;

структурой (сетевой и многоуровневой).

Использование данной базовой формы позволяет свести реали­зацию основных процедур формирования модулей к решению фор­мальных задач, формулируемых как задачи анализа структурных свойств исходной модели.

3.6.7. Подбор эмпирической формулы

Остановимся особо на вопросе о подборе эмпирической формулы для функ­циональной зависимости между величинами.

Пусть мы знаем, что некоторая величина у является функцией другой величины х, т. е. но аналитическое выражение этой функции нам неизвестно и мы хотим подобрать для нее формулу с достаточной для нас точностью описывающую зависимость. Пусть, далее, в ре­зультате эксперимента или наблюдения, мы получили рад значений х и соответствующих значений у:

Тогда, если N не слишком велико, обычно начинают с нанесения этих данных на координатную ось в виде отдельных точек. При этом становятся видны точки, выпа­дающие из общего хода зависимости. Они могут свидетель­ствовать о каких-то важных эффектах, требующих спе­циального исследования, но чаще получаются из-за сущест­венных ошибок при эксперименте или вычислениях — тогда эти точки просто игнорируются.

Затем надо выбрать вид формулы, которой мы будем пользоваться. Если этот вид не вытекает из каких-либо общих соображений, то обычно выбирают одну из про­стейших элементарных функций или их простую комби­нацию (сумму степенных или показательных функций и т. п.); конечно, для этого надо хорошо представлять себе возможные графики таких функций. При этом следят за тем, чтобы подбираемая функция f(x) имела те же характерные особенности, что и изучаемая функция у(х). Так, если по своему содержательному смыслу функция y(x) четная, то и функция f(x) должна быть четной и т. п.; очень важно правильно передать поведение функции при больших и малых значениях х, возможную смену ее знака и другие ее существенные черты. На малом интервале изменения х часто применяют наиболее простую — линейную функцию, а вблизи точки экстремума — квадратичную функцию. Иног­да не удается подобрать единую формулу на всем интервале изменения х и приходится разбивать этот интервал на части и на каждой подбирать свою формулу.

После выбора вида формулы нужно определить значения входящих в нее параметров. Рассмотрим сначала случай, когда экспериментальные точки подсказывают линейную зависимость у от х, т. е. мы полагаем f(x)= ах + b и нам надо найти значения параметров а и b. Если высокой точности не требуется (тем более, что формула все равно приближенная), то это можно сделать непосредственно с помощью графика, проведя прямую — лучше всего при­менив прозрачную линейку,— к которой эксперименталь­ные точки лежат ближе всего, а затем определить ее па­раметры.

Если требуется бóльшая точность или если мы хотим обойтись без геометрических построений, ограничившись линейными приближениями, то наиболее часто для подбора параметров а и b применяется метод наименьших квад­ратов. Он состоит в минимизации суммы квадратов разностей между эмпирическими значениями функции и соответствующими ее значениями, полученными из приближенной формулы,

Применение необходимого условия экстремума (равенство нулю производных первого порядка по каждому аргумен­ту) к этой сумме, рассматриваемой как функция величин а, b, приводит к простой системе уравнений для определения а и b:

Этот метод можно применить и к формулам другого вида, даже содержащим более одной независимой переменной и (или) любое число параметров, если эти параметры входят линейно в искомую формулу. Если это не так, то иногда оказывается возможным ввести новые переменные так, что­бы это условие было выполнено.

Приведем пример. Пусть эксперимент привел к зна­чениям:

Изображение экспериментальных точек на миллиметровке, которое мы предоставляем сделать читателю, напоминает о степенной функции видав которую параметр b входит нелинейно. Поэтому прологарифмируем это равенст­во и обозначим Мы приходим к формуле в которую параметры А и b входят линейно. В новых переменных таблица имеет вид

Применение метода наименьших квадратов дает значения откуда и с учетом точности исходных данных мы получаем приближен­ную формулу Отметим, что на полученные значения параметров могут существенно повлиять погреш­ности при измерении малых значений у. Для повышения достоверности результата следует либо повысить точность этого измерения, либо игнорировать эти значения при при­менении метода.

3.6.8. О размерностях величин

В приложениях матема­тики — в отличие от курса самой математики — рас­сматриваемые величины, как правило, размерны. Этому важному вопросу не всегда уделяется необходимое вни­мание, что может послужить источником ошибок.

Напомним, что по определению две величины имеют одинаковую размерность, если их можно выразить в одних и тех же единицах измерения. Так, величины и имеют одинаковую размерность; это записы­вают так: Обычно размерности некоторых ве­личин принимаются за основные, а размерности других величин выражаются через основные. Так, в задачах, свя­занных с механикой, за основные берутся размерности дли­ны (эта размерность обозначается буквой L), времени (Т) и массы (М), так что, например,

При решении задач в буквенной форме обычно все формулы без особой оговорки считаются размерно однород­ными, т. е. не связанными с определенными единицами измерения участвующих величин. Но в числовых ответах эти единицы обычно присутствуют, т. е. размерная однород­ность нарушается. Например, широко известная формула для пути при свободном падении размерно од-

нородна, тогда как та же формула, записанная в виде уже не обладает этим свойством, она требует, чтобы s было выражено в метрах, at — в секундах.

Как перейти в размерно неоднородной формуле к другим единицам измерения? Пусть, например, мы хотим в послед­ней формуле перейти к километрам и минутам. Для этого представим

где s и t — размерные путь и время. Отсюда получаем подробно

или окончательно в новых единицах

Если размерность какой-либо величины не сразу видна из ее определения, то ее легко получить из любой размерно однородной формулы, содержащей эту величину и другие величины, размерность которых известна. Выясним, на­пример, размерность коэффициента температуропровод­ности из формулы (1.4). Так как дифференциал любой величины имеет ту же размерность, что и сама величина, то, приравнивая размерности левой и правой частей форму­лы, получаем