Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 75 )

(6)

где zi — текущее состояние i-й подсистемы в момент—начальное состояние i-й подсистемы в момент начала ее функциони­рования — вектор-функция, определяющая входной про­цесс i-й подсистемы; — входное сообщение для i-й под­системы (входное сообщение определяется совокупностью упоря­доченных пар для всех где Ti- — множество моментом времени, в которых рассматривается функционирование i-й под - системы). В каждой j-й реализации на модели i-й подсистемы вектор-функцию выбирают из некоторого известного мно- жества функций

Для различных подсистем функциональные зависимости (6) будут получаться, естественно, отличными друг от друга. Совокуп­ность всех функций в пространстве их определения можно рассматривать как множество входных воздействий для модели системы. При таком подходе модель как математический эквивалент реальной системы по некоторому показателю качества ее работоспособности может быть охарактеризована при фиксированном входном сообщении выражением

(7) (8)

Процессы смены состояний в такой системе описываются соот-ношениями

(9)

где H — оператор функционирования системы, опреде­ляющий алгоритм взаимодействия ее подсистем.

Разработка алгоритма математической модели системы на этих принципах позволяет создать программу на ЭВМ, состоящую из субблоков, которые можно при необходимости заменить или скор-ректировать по результатам физических экспериментов другими более точными аналогами. При этом модель взаимодействия подсистем, которая обычно гораздо сложнее моделей элементов, остается без изменений, если в системе не нарушено функциональное взаимодействие ее реальных элементов.

3.6.2. О содержательной модели

Очевидный, но важней­ший начальный этап построения или выбора математической модели — это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных об­суждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследо­вания. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэф­фективным или даже потраченным впустую из-за недоста­точного внимания к этой стороне дела.

В задачах тех типов, которые мы здесь рассматриваем, этот этап обычно заключается в уточнении структуры изу­чаемого объекта, существенных для проводимого исследо­вания свойств его компонентов и характера их взаимо­действия. Пусть, например, мы изучаем действие некоторого механического устройства. Тогда мы начинаем с выяснения того, из каких частей оно состоит, каковы их свойства, как эти части взаимодействуют, какие силы при этом возникают, а также не могут ли какие-либо немеханические процессы (тепловые, электрические и т. д.) заметно повлиять на изу­чаемую ситуацию.

Содержательную модель, особенно при первоначальном исследовании, желательно по возможности упростить (но, конечно, так, чтобы при этом не исказить качественную картину явления): грубую модель можно в дальнейшем уточнить. Так, мы выясняем, нельзя ли принять тот или иной элемент устройства за материальную точку или за абсолютно жесткое тело; если форма этого элемента суще­ственна, то нельзя ли ее считать простой и т. п. При таком упрощении надо использовать аналогии с другими успешно решенными задачами, с другим собственным и чужим опы­том. Но, конечно, нельзя бездумно идти на поводу готовых схем, так как решение каждой новой задачи требует новых, порой принципиально новых, соображений.

Если твердый элемент устройства обладает податливос­тью, то необходимо выяснить ее характер, т. е. следует ли считать деформации упругими или пластическими и т. д., можно ли считать материал однородным и изотропным. Если в рассматриваемую систему входят сыпучие тела, грунт или другие «неклассические» среды, то надо уточнить, какие из нужных нам свойств этих сред известны. Аналогично уточ­няются свойства жидких и газообразных компонент: наличие вязкости, сжимаемости, характер движения (ламинарное, турбулентное) и т. п.

При упрощении сложных структур широко применяется осреднение. Так, многокомпонентные среды (композиты, взвеси и т. п.) заменяются на однокомпонентные с соответ­ственно подобранными свойствами; повторяющиеся дискрет­ные нагрузки, соединения (типа заклепочных швов), другие конструктивные элементы — на непрерывные, если это упрощает исследование; осредняются также быстро колеблющиеся внешние воздействия.

Важную роль играет выяснение сил, действующих в системе, как внешних, так и внутренних. И здесь стараются произвести упрощения: малосущественные силы игнориру­ются (их можно учесть при уточнении исследования); при возможности производится группировка сил с заменой их на равнодействующие и т. п. Приведем простой пример.

Пусть в ранее рассмотренном примере массой пружины пренебре­гать нельзя; как учесть это обстоятельство? Отметим, прежде всего, что если один конец однородной пружины массы закреплен, а другой движется вдоль линии ее действия соскоростью v, то, приняв растяжение равномерным и обоз­начив ее длину в ненагруженном состоянии, получаем выражение для кинетической энергии пружины:

(При каком условии это допущение приемлемо? Естественно считать, что это можно сделать, если характерное время Тп, связанное с собствен­ными продольными колебаниями пружины, существенно меньше характер­ного времени Тг, связанного с колебаниями груза, так как тогда неравно­мерность растяжения пружины будет за время Тг успевать выравниваться. Рассуждая, как в п. 1 а Добавления, можно вывести (попробуйте!) уравнение

продольных колебаний прижины. Отсюда получаем ско­рость распространения возмущений вдоль по пружине. За Тп можно принять воемя прохождения возмущения вперед и назад вдоль пружины, т. е.За Тг можно принять период колебаний груза, т. е. Таким образом, допущение о равномерном растяжении пружины можно считать приемле­мым, если т. е. Допустив, как обычно, что «значительно меньше» означает «меньше по крайней мере в 10 раз», получаем условие приемлемости допущения:Заменив 10 на 5, что также представляется допустимым, получаем более свободное огра­ничение: )

Поэтому закон сохранения энергии в применении к рас­сматриваемой системе имеет вид

После дифференцирования и сокращения на получаем

Сравнивая с уравнением (1п.3.1.4), мы видим, что в приведенных предположениях можно считать массу пружины равной ну­лю — это, конечно, упростит модель,— но к массе груза добавить Это поправочное слагаемое называется присоединенной массой пружины в рассматриваемой задаче.

Отметим, что при анализе содержательной модели надо уточнить, какие именно данные мы можем считать извест­ными,— в частности, не проще ли непосредственно измерить величину, которую в принципе можно и вычислить.

3.6.3. Формулирование математической задачи

Задачи анализа и синтеза. Далеко не всегда вопрос о том, какого типа математическую задачу мы будем решать, даже какие величины мы будем искать, бывает ясен с самого начала. Задача может быть поставлена не в конкретной форме («Найти частоту колебаний такой-то системы»), а в форме не столь определенной («Исследовать поведение такой-то системы», «Оптимизировать такое-то устройство путем под­бора его параметров» и т. п.). Тогда требуется хотя бы предварительное уточнение плана действий: какие величины было бы желательно найти, какие зависимости исследовать и откуда их можно было бы получить, по какому критерию проводить оптимизацию и т. д. Такой план, который впос­ледствии может видоизменяться и дополняться, желательно обдумать на возможно более ранней стадии исследования, поскольку он может существенно повлиять на формулировку математической модели: что мы будем считать исходными данными, какие величины искать, какого типа уравнения нам понадобятся для этого и т. д. При уточнении мате­матической модели мы уточняем и план действий, в итоге четко формулируя математическую задачу. (Впрочем, бы­вает, что даже четко сформулированная задача видоизменя­ется в процессе дальнейшего исследования.)