Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 3 )

Как мы уже говорили, математическая модель (ММ) — совокупность мате­матических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства проектируемого технического объекта.

Моделирование большинства объектов можно выполнять на микро-, макро - и метауровнях, различающихся степенью детализации рассмотрения процессов в объекте.

Математической моделью объекта на микроуровне является система дифференциальных урав­нений в частных производных, описывающая процессы в сплошной среде с заданными краевыми условиями. Система уравнений, как правило, известна (уравнения Ламе для механики упругих сред; уравнения Навье—Стокса для гидравлики; уравнения теплопроводности для термодинамики и т. д.), но точное решение ее уда­ется получить лишь для частных случаев, поэтому пер­вая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и ин­тегральных граничных уравнений, одним из вариантов которого является метод граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аппрокси­мирующая система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к модели­рованию на макроуровне.

Математической моделью объекта на макроуровне является система ОДУ с заданными на­чальными условиями. В основе ММ лежат компонент­ные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементами. Предпосылкой создания единого матема­тического и программного обеспечения анализа на мак­роуровне являются аналогии компонентных и топологи­ческих уравнений физически однородных подсистем, из которых состоит объект. Для получения топологических уравнений используются формальные методы. Основными методами получения ММ объектов на макроуровне являются следующие методы: обобщен­ный, табличный, узловой и переменных состояния. Ме­тоды отличаются друг от друга видом и размерностью получаемой системы уравнений, способом дискретиза­ции компонентных уравнений реактивных ветвей, до­пустимыми типами зависимых ветвей. Для сложных объектов размерность ММ становится чрез­мерно высокой и для моделирования приходится пере­ходить на метауровень.

На метауровне моделируют в основном две катего­рии объектов: объекты, являющиеся пред­метом исследований теории автоматического управле­ния, и объекты, являющиеся предметом теории массо­вого обслуживания. Для первой категории объектов возможно использование математического аппарата мак­роуровня, для второй категории объектов используют методы событийного моделирования.

Выбор математического аппарата для построения модели зависит как от природы и свойств моделируемого объекта, так и от характера рещаемой задачи.

1. Введение в моделирование

1.1 . Понятие модели и моделирования

Термин модель широко распространен как в научном, так и в общеупотребительном языке, причем в разных ситуациях в него вкладывается разный смысл. Слово модель ведет свое происхождение от латинского ‘modulus’, что означает мера, мерило, норма, образец.. Мы ограничимся пониманием слова модель, которое используется в широко распространенном методе исследования, называемом моделированием, т. е. рассмотрим такие модели, которые являются инструментом получения знания

Под “моделью” понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая в процессе познания, анализа замещает реальный объект (систему), сохраняя некоторые наиболее важные для исследования его черты, причем ее изучение дает нам новую информацию об объекте. Таким образом, модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности.

Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Моделирование как способ научного познания появилось в античную эпоху одновременно с возникновением научного познания. Сейчас трудно назвать ту область, где бы оно ни использовалось

Каковы основополагающие положения метода моделирования, и какие его достоинства заставляют постоянно прибегать к этому методу в научных исследованиях?

В общефилософском плане, очевидно, что анализ процесса моделирования должен начинаться с признания реальности существования моделируемых объектов, т. е. признания объективной реальности. Этот анализ основывается на следующих основных положениях теории отражения:

1. Модель является отражением реально существующего объекта, причем гносеологическим отражением.

2. Модель является гомоморфным отражением объекта, следствием чего является сокращение и упрощение структуры оригинала. Модель воспроизводит лишь основные, наиболее существенные для исследования стороны изучаемого объекта. (Гомоморфизм - когда несколько свойств объекта отображаются в одно. Изоморфизм - взаимно однозначное соответствие(одно в одно )).

3. Модель всегда предполагает участие в ее создании, конструировании, выборе познающего субъекта.

Развитие методов моделирования определяет развитие любой науки и имеет огромное практическое значение. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т. е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Таким образом, практическое значение моделирования заключается в том, что:

1.  Модели более удобны для исследования, чем исходные объекты. Кроме того, некоторые объекты можно изучить только на моделях.

2.  Моделирование позволяет выявить наиболее существенные факторы изучаемого объекта или явления, поэтому является инструментом для более глубокого изучения реальности.

Рассмотрим ряд определений понятия «модель» в изложении некоторых авторов – специалистов в области моделирования. Во все времена человек разумный отражал в своем мышлении объекты реальности в виде идеальных мысленных (вербальных) моделей и действовал исходя из ожидаемого поведения их прототипов. Это этап первого отражения, отражения мира в мышлении человека. С появлением компьютера ситуация радикально меняется. Человек может теперь передать компьютеру свои знания, создав компьютерную модель реального объекта или процесса. Происходит второе отражение природы, теперь уже из мышления человека в память компьютера. В этом смысле компьютерный мир является третьей реальностью: 1) материя; 2)сознание; 3) снова неживая материя (компьютер).
Исходя из вышесказанного, можно считать моделирование конечной целью информатики. Рассмотрим как трактуют этот вопрос некоторые авторы пособий по моделированию.

приводит следующее определение понятия модели "...Под моделью мы будем понимать систему, неотличимую от моделируемого объекта в отношении некоторых свойств, полагаемых существенными, и отличимую по всем остальным свойствам, которые полагаются несущественными; при этом отсутствие в модели несущественных элементов не менее важно, чем присутствие в ней существенных…."
Здесь и исходный объект, и его модель понимаются как системы. В свою очередь понятие системы предполагает: наличие элементов, ее составляющих; наличие связей между ними; целостность системы (удаление элемента невозможно без ущерба для целого); наличие свойств и у модели, и у объекта, которые проявляются как через отношения между элементами модели, так и через отношения с внешними объектами.
Простой пример системы - нарисованный или реальный дом из элементов: стены, крыша, дверь, окно. Элементы взаимосвязаны расположением в пространстве, а в реальности еще и механически скреплены.
Практика должна опережать теорию: сначала исследователь работает с моделями, затем обдумывает и осознает суть своей деятельности как моделирования или использования моделей, и лишь потом как итог обсуждается содержание понятий.
Сами слова-термины "модель", "элемент", "система", "свойство" вводятся в обиход постепенно и по мере их пояления наполняются содержанием в разном контексте. Точно так же как человек постепенно, на практике усваивает, что такое знак или символ. В отличии от концепции обучения моделированию предлагаемой , вынесла понятия модели и моделирования в самое начало раздела своей работы "Компьютерное моделирование".
Все многообразие моделей отличает нечто общее, а именно моделью может стать искусственно созданный человеком абстрактный или материальный объект. Анализ модели и наблюдение за ней позволяют познать суть реально существующего объекта, процесса или явления, называемого прототипом или оригиналом. Значит можно дать более простое определение и модели и процесса моделирования.
Модель - упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении.
Моделирование - построение моделей для исследования и изучения объектов, процессов, явлений.
Может возникнуть вопрос, почему бы ни исследовать сам оригинал, зачем создавать его модель?
Во-первых, в реальном времени оригинал может уже не существовать или его нет в действительности. Для моделирования время не помеха. На основании известных фактов методом гипотез и аналогий можно построить модель событий или природных катаклизмов далекого прошлого (гибель Атлантиды, вымирание динозавров). С помощью такого же метода можно заглянуть в будущее (модель "ядерной зимы", мальтусовская модель перенаселения Земли, модель глобального потепления планеты и пр.)
Во-вторых, оригинал может иметь много свойств и взаимосвязей. Чтобы изучить какое - либо конкретное, интересующее нас свойство, иногда полезно отказаться от менее существенных, не рассматривая их.
Что же поддается моделированию? Это может быть объект, явление или процесс.
Моделями объектов могут быть уменьшенные копии архитектурных сооружений, наглядные пособия и пр. Модель может отражать нечто реально существующее, скажем атом водорода или Солнечную систему, структуру парламентской власти, грозовой разряд и пр.
Для изучения явлений живой природы, для предотвращения катастрофы, для применения природных сил на благо человечества создаются модели явлений. Академик Георг Рихман, сподвижник и друг Ломоносова, еще в начале 18 века моделировал магнитные и электрические силы, чтобы изучить их и найти им дальнейшее применение. Когда речь идет о природных явлениях (землетрясения, цунами и пр.), мы имеем в виду не какой-то конкретный случай, а его обобщение.
В моделях объектов или явлений отражаются свойства оригинала - его характеристики, параметры.
Можно также создавать модели процессов, т. е. моделировать действия над материальными объектами: ход, последовательную смену состояний, стадий развития одного объекта или их системы. Примеры тому общеизвестны: это модели экологических или процессов, развития Вселенной или общества и т. п..
И, наконец, любым действиям человека, будь то разрешение конкретной житейской проблемы или выполнение какой-либо работы, предшествует возникновение модели будущего поведения. Это главное отличие человека мыслящего от всех других существ на земле." Понятие модели по . В пособии "Земля Информатика" как и не вводит однозначного понятия моделей. Подход к этому вопросу во всех работах этого автора и его коллектива одинаков: рассматриваются многочисленные жизненные задачи и в ходе их рассмотрения у читателя должно складываться интуитивное (с помощью Гейна) понятие модели.
"...Вот пример жизненной задачи и ее решения. В районе имеется несколько населенных пунктов. По территории района проходит железная дорога. Планируется построить железнодорожную станцию и связать ее с населенными пунктами грунтовыми дорогами. Требуется определить место наилучшего расположения железнодорожной станции.
Решить эту задачу невозможно, если не уточнить, какое расположение считать наилучшим. С точки зрения экономии средств на прокладку дорог наилучшим будет то расположение станции, при которой суммарная длина дорог будет наименьшей. С точки зрения экономной организации, скажем, автобусного сообщения между населенными пунктами и будущей станцией наилучшим будет то расположение, при котором потребуется наименьшее количество автобусов для суммарной перевозки пассажиров. Это значит, что дорога от населенного пункта с большим количеством жителей должна быть короче, чем дорога до пункта с меньшим количеством жителей.
Наконец социальные службы могут потребовать могут настаивать на том, чтобы дорога от самого удаленного пункта до станции должна быть самой короткой.
Разумеется, что решение такой задачи требует еще и предположений о рельефе местности. Давайте предположим что местность - плоская равнина, а дороги - прямолинейные отрезки.
Итак - первый структурный элемент модели - упрощающие предположения, которые позволяют из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это - предположения, исходные данные, результаты и связи между ними - и называют моделью задачи. Разумеется, словосочетание " модель задачи" мы применяем к жизненным, а точнее к плохо поставленным задачам, т. е. таким задачам, из условия которых нельзя однозначно извлечь, что является исходными данными, результатами и какова связь между ними. К примеру задание " Решить уравнение 2х+3=7", конечно является задачей (и, может быть, для кого-то весьма трудной), но не является плохо поставленной задачей, и никакой модели тут строить не нужно.

Такое многообразие моделей отличает общий элемент - это искусственно созданный человеком абстрактный или материальный объект. Анализ модели и наблюдение за ней позволяют познать суть реально существующего более сложного объекта - прототипа или оригинала.