Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 85 )

Реальные объекты могут описываться дифференциально-функциональными уравнениями и более сложной структу­ры, чем приведенная выше. В частности, уравнение может включать не одно, а несколько дискретных запаздываний, а также «распределенное запаздывание». Это приводит к интегро-дифференциальным уравнениям. В линейном случае такое уравнение может, например, иметь вид

(заданная функция К называется ядром этого уравнения); оно описывает системы, обладающие памятью. Интегро-дифференциальные уравнения могут иметь и более слож­ный вид.

Применяются и «чисто» интегральные уравнения, чаще всего — уравнения Фредгольма второго рода, т. е. урав­нения вида

и уравнения Вольтерра второго рода, имеющие вид

(Соответствующие уравнения первого рода получаются, ес­ли левую часть заменить нулем.) При математическом моделировании колебаний сплошных сред встречается соот­ветствующая задача на собственные значения

Собственным значениям ядра К, определяющим частоту так называемых нормальных колебаний среды, называется любое значение λ, при котором последнее уравнение имеет ненулевые решения; сами эти решения, определяющие моды (формы) таких колебаний, называются собственными функ­циями; при этом независимой переменной служит геомет­рическая координата.

Встречаются и более сложные интегральные уравнения. Методы исследования и приближенного решения интеграль­ных уравнений описаны во многих книгах; в принципе это те же методы, что и для дифференциальных уравнений.

3.6.12. Уравнения для функций нескольких аргументов

Ес­ли искомой является функция нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение становится уравнением с час­тными производными; такие уравнения традиционно назы­ваются также уравнениями математической физики. Они естественно появляются в задачах, связанных с механикой сплошной среды, теорией тепломассообмена, теорией элект­ромагнитных полей и т. д., причем независимыми пе­ременными чаще всего служат геометрические коорди­наты и в случае эволюционных задач время. (По поводу математического описания физических полей см. Добав­ление, п. 6.)

Уравнения с частными производными, применяемые при решении технических задач, подразделяются на два класса: уравнения, описывающие стационарное состояние среды, и эволюционные уравнения, описывающие развитие процесса в ней. Среди уравнений первого класса наиболее широко известны уравнения Лапласа и Пуассона, имеющие для пространственных задач, соответственно, вид

(1)

Эти уравнения, а также их одномерные и двумерные вариан­ты применяются при описании напряженного состояния однородных изотропных упругих тел, стационарных течений идеальной несжимаемой жидкости, стационарного распреде­ления температуры, электрических и магнитных полей и т. д. При изучении прогиба плоской однородной пластинки применяются также уравнения

(2)

Если рассматривается неоднородная среда либо неплоская пластинка, то уравнения остаются линейными, но коэф­фициенты при производных перестают быть постоянными. Встречаются и более сложные уравнения и системы урав­нений с частными производными; в частности, при рассмот­рении больших деформаций, течений сжимаемой среды и др. уравнения становятся нелинейными. При применении си­стем уравнений с частными производными надо следить, чтобы число независимых уравнений равнялось числу искомых функций.

Для уравнений стационарного состояния добавочными обычно служат краевые условия, отражающие ситуацию на границе области (D), в которой строится решение. Так, для уравнений (1) наиболее часто на задаются значения либо и, либо (производная по внешней нормали к либо линейная комбинация и и — это соответственно краевые условия первого, вто­рого и третьего родов. Для уравнений (2) краевое условие состоит уже из двух равенств: например, в случае жесткой заделки на задаются значения и и

Среди эволюционных уравнений наиболее часто приме­няются волновое уравнение и уравнение теплопроводности, имеющие для пространственных задач, соответственно, вид

(3)

(а — постоянная, равная скорости распространения волн для рассматриваемого процесса) и (1п.3.1.3). Для таких уравнений обычно ставится начальное условие, отражающее начальное состояние моделируемого процесса. Для уравнения (3) оно состоит в задании и и при некотором начальном значениидля уравнения (1п.3.1.3) задается только

Если для предпринятого исследования существенна ситуа­ция на границе области, в которой происходит процесс, то задаются еще граничные условия, о которых говорилось в предыдущем абзаце; тогда говорят о начально-краевой задаче.

Довольно широко распространились нестационарные задачи в областях с изменяющейся гра­ницей, причем закон изменения границы заранее не задан, а определяется попутно с построением всего решения. Такие задачи возникают при исследовании нестационарных дви­жений жидкости или сыпучей среды со свободной поверхно­стью, перехода среды из одной фазы в другую (это «задача Стефана») и т. д. Для них на неизвестной границе задается еще одно добавочное условие типа равенства, которое вместе с остальными условиями и дает возможность найти гра­ницу. Встречаются и стационарные задачи с неизвестными границами.

Промежуточное положение между стационарными и эво­люционными задачами занимают задачи на собственные значения.

Точное решение задачи для уравнения с частными про­изводными в виде явной формулы, даже включающей интег­ралы или суммы бесконечных рядов, возможно лишь для уравнений и областей специального вида; этой возможно­стью не следует пренебрегать, так как при ее реализации решение иногда удается исследовать наиболее полно. Порой удается найти точные формулы для решений специального вида — например, стационарных (т. е. не зависящих от времени) для эволюционных задач, или не зависящих от пространственных координат, или автомодельных, или типа бегущих или стоячих волн и т. п. Из таких формул обычно удается сделать полезные выводы.

В качестве простого примера рассмотрим задачу о разог­реве однородного стержня с помощью постоянного (по времени и по пространству) теплопритока, если на концах х = 0 и х = l стержня поддерживается постоянная темпе­ратура θ0. Соответствующее дифференциальное уравнение (Д. 3) в одномерном варианте имеет вид

(4)

Естественно ожидать, что для любого начального распреде­ления температур поле температур θ при устанавлива­ется, переходит в некоторое предельное стационарное поле Как его найти? Для этого надо считать, что в урав­нении (4) θ не зависит от t Тогда мы получаем краевую задачу

решение которой легко найти:

Это и есть предельное распределение температур. Мы видим, в частности, что оно не зависит от начального распределения.

Всё же чаще применяется приближенное построение решений, методы которого, как и для обыкновенных диффе­ренциальных уравнений, можно подразделить на непрерыв­ные и дискретные. Впрочем, ряд приближенных методов имеет и дискретные и непрерывные черты; к таким методам относится метод прямых, в котором производится дис­кретизация всех независимых переменных, кроме одной, в результате чего задача приводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений; дискретные и непрерывные черты имеет также широко популярный метод конечных элементов, наиболее приспособлен­ный к решению уравнений в областях сложной конфигу­рации (см. Добавление, п. 3). Естественно, что трудность приближенного решения за­дачи значительно повышается с возрастанием ее геомет­рической размерности, под которой понимается число су­щественных геометрических координат, т. е. минимальное число таких (быть может, криволинейных) координат, с помощью которых выписываются все условия задачи и ее решение. (Например, осесимметричная задача в пространст­ве с координатами х, у, z, для которой ось х служит осью симметрии, является двумерной с существенными координа­тами Z и

Если одномерные задачи сравнительно просты, а дву­мерные чаще всего поддаются решению на ЭВМ средней мощности, то для существенно трехмерных задач объем вычислений обычно бывает велик и требует применения мощных ЭВМ. Поэтому весьма желательно возможное по­нижение геометрической размерности задачи, т. е. переход от трехмерной задачи к двумерной или от двумерной — к одномерной, если это можно сделать без существенной по­тери адекватности. Иногда это удается сделать с помощью введения специальных систем координат, иногда — с по­мощью объявления параметром одной из координат, от которой зависимость решения сравнительно медленная, и т. п. Подобное понижение геометрической размерности при­меняется, в частности, в теории пограничных слоев.