Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 124 )

Если рассматривается механическая система, то можно говорить о ее положении в данный момент времени, опреде­ляемом как бы ее фотоснимком, и о ее состоянии в этот момент, которое фиксирует также и скорости движения компонентов системы. Когда говорят о числе степеней сво­боды и об обобщенных координатах такой системы, «объек­тами», о которых говорилось выше, служат все ее возможные положения. Таким образом, если система имеет k степеней свободы, то многообразие (говорят также — пространство) ее положений k-мерно с обобщенными координатами q1, q1, …, qk. Многообразие же состояний (говорят также — фазовое многообразие) этой системы 2k-мерно, координа­тами в нем (фазовыми координатами) служат где а t — время.

Рассмотрим в качестве примера систему из зубчатых колес, в которой каждое последующее колесо зацеплено с предыдущим. Здесь имеется всего одна степень свободы, причем за обобщенную координату можно принять угол поворота первого колеса, так как задание этого угла полно­стью определяет и положение остальных колес. Если же колеса не зацеплены, то число степеней свободы системы равно числу колес.

Подсчитаем, сколько степеней свободы имеет отрезок данной длины l при движении в пространстве. Каждый такой отрезок полностью определяется декартовыми координатами и его концов. Эти координаты можно принять за параметры, определяющие положение отрезка. Они, очевидно, существенны, но не являются независимыми, а связаны соотношением

Таким образом, только пять параметров можно считать независимыми, а шестой выражается через них из этого соотношения. Значит, отрезок данной длины при движении в пространстве имеет пять степеней свободы.

В общем случае, если параметров п. и они существенны, но связаны т независимыми уравнениями (т. е. такими уравнениями, из которых ни одно не вытекает из осталь­ных), то п — т параметров можно принять за независимые, а остальные т можно — во всяком случае, в принципе — выразить через них, т. е. имеется п — т степеней свободы. Отсюда, например, получаем, что при движении жесткого треугольника в пространстве имеется 9 — 3=6 степеней свободы (проверьте!). Этот пример важен в связи с тем, что положение абсолютно твердого тела произвольной формы полностью определяется указанием положений трех его то­чек, не лежащих на одной прямой. Значит, при движении такого тела в пространстве также имеется шесть степеней свободы.

Приведем еще один поучительный пример: найдем число степеней свободы при выборе прямой на плоскости. Можно рассуждать так: выберем произвольно две точки А и В на плоскости (каждая имеет по две координаты) и проведем через них прямую рAB, которая определяется, таким образом, четырьмя параметрами. Так как эти параметры незави­симые, то, казалось бы, получается четыре степени свободы. Однако такое рассуждение неверно, так как при изменении этих параметров (координат) точки А и В будут, правда, меняться, но прямая рAB может при этом оставаться неизмен­ной; значит, требование существенности параметров не вы­полняется. Так как прямая рAB не меняется, если точка А скользит по ней (одна степень свободы) или точка В скользит по ней (еще одна степень свободы), то при нашем подсчете получилось две лишних степени свободы и на самом деле число степеней свободы равно 4 — 2=2. За независимые и существенные параметры можно взять, например, коэф­фициенты k и b в уравнении у = kх + b; правда, прямые, параллельные оси у, не описываются такими уравнениями, но эти особые случаи не могут сказаться при подсчете числа степеней свободы. Многообразие всех прямых на плоскости двумерно.

6. Локальные и интегральные характеристики полей. Здесь мы укажем на некоторые принципиальные моменты, возникающие при математическом моделировании физи­ческих полей. Напомним, что в пространстве задано поле некоторой величины и, если в каждой точке пространства или некоторой его области определено значение этой величины. Поле может быть скалярным или векторным в зависимости от характера исследуемой величины: например, поля температур или плотностей являются скалярными, а поля скоростей или сил — векторными. Если обозначить буквой М произвольную (текущую) точку пространства, то для стационарного поля — а также для нестационарного поля, рассматриваемого в фиксированный момент време­ни,— имеем и=и(М), т. е. и является функцией точки пространства; если рассматривается эволюция нестационар­ного поля, то и=и(М, t), где t — время.

Если ввести в пространство произвольную (вообще гово­ря, криволинейную) систему координат то функция точки переходит в функцию трех переменных: Однако для полей, моделирующих реальные ситуации, функция точки первична по отношению к функ­ции координат, так как поле и(М) по своему смыслу задается и может быть исследовано без всяких систем координат. К тому же, надо иметь в виду, что одно и то же поле в различных системах координат может записываться совсем по-разному.

Поэтому надо следить за тем, чтобы основные мате­матические характеристики физического поля, применяе­мые для описания его свойств, были связаны с ним инвариан­тно, т. е. не зависели от выбора системы координат, даже если эти характеристики выражены с помощью координат. Типичным примером служит лапласиан скалярного поля, выраженный в декартовых координатах (см. формулу (Д.4)): каждое слагаемое, конечно, неинвариантно, оно зависит от выбора направлений осей координат, но вся сумма инвариан­тно связана с полем, что легко вытекает из представления лапласиана в виде div grad и. Подробное изучение идеи инвариантности приводит к понятию тензора, на котором мы здесь не будем останавливаться.

Величины, трактуемые как функции точки, являются локальными характеристиками поля. Имеется и другой класс величин — величин, распределенных по пространству и потому являющихся интегральными характеристиками поля. Рассмотрим, например, неоднородное материальное тело с массой, непрерывно распределенной в пространстве. Тогда каждой мысленно выделенной области (Ω) отвечает значение ее интегральной характеристики, При этом имеет место закон сложения (аддитивности): если область (Ω) как-то разбита на части, например, и тов этом и состоит смысл выражения «масса распределена в пространстве».

Распределенной массе отвечает плотность, являющаяся уже функцией точки:

(Д.30)

(под здесь понимается объем области это действие аналогично обычному определению производной. Величины и называют соответственно «элементом объема» и «элементом массы» в точке М. При величины и различаются на малую высшего порядка по сравнению с каждой из них.

Обратный переход от плотности к массе осуществляется с помощью интегрирования. Таким образом, в данном при­мере локальная и интегральная характеристики поля связа­ны соотношениями

Возможность появления точечных масс в математиче­ских моделях не противоречит подходу к массе как к рас­пределенной величине: если масса т0 сосредоточена в точке М0, то ее можно считать распределенной в пространстве с плотностью где δ — дельта-функция векторного аргумента.

По этому же образцу рассматриваются другие величины, распределенные по пространству,— такие, как заряд, энер­гия и т. п.— и их плотности. Распределенной может быть и векторная величина — например, количество движения; тогда и значение плотности векторное. Отметим, что для того чтобы некоторую величину можно было считать распреде­ленной по пространству, не требуется, чтобы она была «размазана» наподобие массы или заряда. Например, стати­ческий момент или момент инерции материального тела могут считаться величинами, распределенными по объему, хотя они не являются непосредственно «размазанными», а зависят от плоскости или оси отсчета. Важно только, чтобы можно было выписать элемент этой величины, пропор­циональный dΩ, и выполнялся закон сложения.