Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 41 )

В предыдущем абзаце при характеристике «функций членства» «расплывчатых множеств» мы избегали терми­на «вероятность» — и не случайно. Дело в том, что вероят­ностная интерпретация «расплывчатых» понятий (в соот­ветствии с той или иной системой правил вероятностной логики, отнюдь не единственна. Две другие возможные интерпретации «fuzzy»-параметров — это упоминаемая самим Заде и его комментаторами «пороговая» и в некотором смысле двойственная пороговой «мажоритарная» (сред­ствами мажоритарной логики).

Применение идей и представлений теории расплывча­тых множеств к «расшатыванию» относительно «жестких» конструкций развитой в предыдущих параграфах концеп­туальной схемы представляется тем более естественным и перспективным, что эти представления по самому своему существу в высшей степени «релевантны» теоретико-по­знавательным задачам. Фактически все «житей­ские» понятия расплывчаты. В этом легко убедиться, выписывая подряд прилагательные из любого словаря. На фоне знакомых (и понятных!) каждому заведомо расплывчатых эпитетов вроде «красный», «длинный», «умный», «дорогой», «странный», «мутный», «красивый» и других небольшая кучка порожденных неистощимой людской изобретательностью «четких» предикатов типа «дифференцируемый», «стодвадцатидевятигранный» или «импредикабельный» выглядит очень уж худосоч­ной. (А уж такие привычные философу категории, как «метафизический», «самодостаточный», «адекватный», «трансцендентальный» или «правомерный», — одна другой расплывчатее) И именно этому обстоятельству обязаны люди, специализирующиеся, например, по теории распоз­навания образов, теории принятия решений, «искусст­венному интеллекту», всяческой эвристике, проблемам моделирования, да и вообще в любой хоть сколько-нибудь «гуманитарной» об­ласти.

2. Бесконечнозначная (даже несчетнозначная) логи­ка Заде, как следует из его результатов, вложима (гомоморфно относительно обычных логических связок) в трехзначную логику Лукасевича, третьим истинностным значением которой наряду с истиной и ложью является неопределенность. Результат этот истолковывается самым простым и естественным обра­зом. Расплывчатое множество можно представить себе «наглядно» как некоторую односвязную область на плос­кости (изображающей весь универсум), граница которой с ее дополнением «размыта» (представьте, если это вам удобно, что по этой границе, нарисованной тушью, «прош­лись», скажем, мокрой кисточкой). Тогда суждение о при­надлежности множеству элемента заведомо внутренней его области разумно считать истинным, суждение о при­надлежности ему элемента явно внешней области — лож­ным, а элемента «размытой» пограничной зоны («не раз­берешь: то ли отсюда, то ли оттуда») — неопределенным.

Однако, как установил , логику Заде можно функционально вложить и в другую трехзначную систему, а именно, в логику Бочвара, третьим истин­ностным значением которой является не неопределен­ность, а бессмыслица (или в другой интерпретации — не-доопределенностъ). Логику Бочвара можно функциональ­но вложить в логику Лукасевича (да простит чита­тель автору невольную скороговорку: доопределив недоопределенности до неопределенностей!), но, очевидно, не обратно.

Все эти результаты, интересные и сами по себе, проли­вают дополнительный свет на возможность пополнения и обобщения нашей структурной схемы привлечением аппа­рата многозначной логики.

3. Упомянутая в п. 1 возможность привлечения к тео­рии «нечетких» множеств (понятий, свойств, отношений, операций, алгоритмов) аппарата мажоритарной логики может, в свою очередь, потребовать для своего осуществле­ния не только методов, традиционных для такого рода логических систем, но и различных подходов к «мажорированию» отношений, развиваемых в «теоретико-системных» работах (в том числе, совместных с ).

4. Еще более радикальный пересмотр и обобщение по­нятий, положенных в основу «модельно-структурной» концепции, обещает дать привлечение подхода, раз­виваемого тем же в рамках теории от­ношений. Особенно принципиальной представляется здесь упомянутая еще в п.2.1 возможность ослабления отно­шения «быть моделью», которое выше всюду предполагалось отношением эквивалентности (рефлексивным, симметричным и транзитивным) или отношением нестрогого по­рядка (рефлексивным и транзитивным): в некотором смыс­ле более естественным является пожелание, чтобы отноше­ние это было лишь отношением толерантности, т. е. реа­лизовало бы идею не тождества, а (всего лишь) подобия, сходства. Привлечение идеи толерантности к обобщению эпистемологической схемы (обобщению заведома нетривиальному, поскольку оно потребует, как было от­мечено еще в § 1, и пересмотра схемы самого нашего опре­деления модели) представляется, быть может, самым перс­пективным направлением среди других возможных путей ее обобщения.

5. Чрезвычайно знаменательным представляет­ся тот факт, что в одной из последних работ Заде по «рас­плывчатым множествам» естественным образом возникает понятие толерантности.

6. Направлениям обобщения и «огрубления» введен­ных выше понятий не противоречат, очевидно, и упомя­нутые в п. п. 2.6, 2.7 возможности их «топологизации».

7. Следует упомянуть еще об одном пути потенциальных обобщений, связанном с использова­нием различных логик высших ступеней. Если идея «обыг­рывания» теоретико-типовых конструкций в целом пред­ставляется мало естественной и не отвечающей требованиям задачи (ср. начало следующего параграфа об «инфинит-ных» конструкциях вообще), то, напротив, привлечение логики второй ступени обещает, похоже, те же преиму­щества гибкости и богатства выразительных средств, что и привлечение этого аппарата в общей теории алгебраи­ческих систем.

2.15. О «предельных вариантах» схемы

Идея дать обобщения предложенной выше эпистемоло­гической схемы на бесконечные последовательности морфизмов и воспользоваться для образования соответст­вующих «предельных» понятий алгебраическими понятия­ми прямого и обратного спектров была впервые высказана . С точки зрения чисто алгебраической обобщения эти настолько естественны, что умолчать о них здесь никак нельзя. В то же время сама по себе идея «выхода в трансфинитное» представляется совершенно чуждой подчеркнуто финитной схеме, излагавшейся в предыдущих параграфах: трансфинитные конструкции если и могут быть интерпретированы, то уж никак не в эпистемологических терминах, в связи с чем ценность такого рода обобще­ний казалась мне чисто «идеальной», а упоминание о них — данью традициям «чистой математики».

Однако, картина существенно меняется, если мы ограничиваем свои рассмотрения конечными приближениями «предель­ных» понятий. Дело в том, что суперпозиция конечного числа морфизмов любого из рассмотренных выше видов тривиальным образом приводит к объекту по крайней мере столь, же «финитной» природы, что и исходная систе­ма. Менее тривиальным является здесь то обстоятельство, что результат такой конечной суперпозиции может все же не сводиться к результату одного морфизма рассмат­риваемого типа: комбинирование различных мор­физмов может оказаться и не транзитивным.

Конкретная реализация этих эвристических идей мо­жет потребовать использования ряда алгебраических по­нятий, важнейшие из которых мы сейчас опишем

1. Если дана возрастающая последовательность под­групп

некоторой группы G (т. е. такая, что для каждого п=1,2,… то теоретико-множественное объеди­нение В этой последовательности само, как легко дока­зать, является подгруппой группы G. Это утверждение без каких-либо изменений переносится на случай произ­вольного (не обязательно счетного) вполне-упорядочен-ного множества подгрупп и, далее, на случай произволь­ного множества подгрупп некоторой группы, упорядочен­ного отношением включения (но не являющегося, вообще говоря, вполне-упорядоченным).

В ряде случаев результирующая подгруппа исходной группы совпадает с самой этой исходной группой. Слу­чаи эти важны и интересны в алгебраическом отношении. Для наших же целей (а состоят они не в добывании но­вых алгебраических результатов, а в приспособлении идей и результатов общей алгебры к задачам эпистемоло­гическим) гораздо интереснее представляются как раз бо­лее общие ситуации, в которых результат объединения является собственной подгруппой исходной группы.

2. Более того, условие, согласно которому группы, яв­ляющиеся элементами нашей конструкции, с самого на­чала предполагаются подгруппами некоторой фиксирован­ной группы, носит явно чужеродный по отношению к на­шим интересам характер. Более перспективной представ­ляется конструкция, позволяющая при выполнении не­которых условий говорить о возрастающей последователь­ности групп, быть может и не являющихся (во всяком слу­чае a priori) подгруппами какой-нибудь заранее фиксиро­ванной группы.

Пусть даны группы ( что бы не вступать в противоречие с принятой всюду выше теоре­тико-функциональной символикой, мы жертвуем алгебраиче­ской традицией (принятой, в частности, Курашом) и обозначаем результат применения морфизма φ к объекту а через φ(а), а не через аφ.)

и для каждого п дано изоморфное отображение φп группы Gn в группу Gn+1 (т. е. на некоторую подгруппу последней):

Эти группы и изоморфизмы позволяют однозначным об­разом построить некоторую новую группу. Осуществляет­ся это при помощи следующей конструкции. Последовательность

элементов рассматриваемой предметной области называет­ся нитью, если она обладает следующими свойствами:

3)приэлементне является