Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 122 )

требуется уточнять, захватывается в нем «особенность» дельта-функции (бесконечно малый интервал, на котором она отлична от нуля) или нет. Это можно записать так:

В частности, в операционном исчислении принимается пер­вое правило, так что изображением по Лапласу функции считают

Переписав формулу (Д. 14) в виде

(Д. 15)

(функция δ четная, так чтомы получаем представление производной функции f(x) в виде суммы бесконечно большого числа «столбчатых» функций, каждая из которых отлична от нуля на бесконечно малом интервале; график одного из слагаемых показан на рис. 3 жирной линией.

Рис. 3

Это представление лежит в основе применения функции Грина.

Исходя из приближенного представления дельта-функ­ции в виде

с большим N, можно понять смысл ее производной Это плотность единичного диполя, т. е. совокупности двух равных бесконечно больших то­чечных зарядов противополож­ного знака на бесконечно малом расстоянии с единичным момен­том (произведением величины каждого из зарядов на рассто­яние между ними). Обобщенная функция имеет при х=0 еще более «острую» особенность, чем

Рассматриваются также обобщенные функции нескольких аргументов или, что равносильно, векторного аргумента. Так, если то

есть плотность единичной массы, сосредоточенной в начале координатИ здесь дифференцирование разрывных функций приводит к появлению дельта-слагаемых. Напри­мер, в теории сплошных сред важную роль играет формула для лапласиана

3. Метод Галеркина. Метод конечных элементов. Тер­мин метод Галеркина объединяет несколько родственных методов приближенного решения краевых задач для диффе­ренциальных уравнений, как обыкновенных, так и с част­ными производными. Мы приведем здесь один из наиболее простых вариантов на примере задачи

(Д. 16)

Для ее приближенного решения выберем какую-либо последовательность координатных функций

(Д. 17)

т. е. последовательность функций, удовлетворяющих соот­ветствующим однородным краевым условиям

и обладающих свойством полноты. Последнее означает, что любую функцию из достаточно широкого класса, удовлетво­ряющую указанным однородным краевым условиям, можно разложить в ряд по функциям (Д. 17). (Здесь, как и в других подобных случаях, мы не уточняем формулировок.) Чаще всего полагают

Кроме того, надо выбрать какую-нибудь функцию φ0(х), удовлетворяющую краевым условиям, указанным в (Д. 16), например,

или

Приближенное решение задачи (Д. 16) ищется в виде

(Д.18)

где значением п ≥ 1 мы задаемся, а постоянные подбираем. Тогда краевые условия, указанные в (Д. 16), заведомо удовлетворяются, а при подстановке выра­жения (Д.18) в дифференциальное уравнение получается невязка (т. е. разность между левой и правой частями уравнения)

С ее помощью получаем уравнения для определения

(Д. 19)

Это система из п конечных уравнений с п неизвестными, которую можно решать различными методами. Особенно просто она решается, если краевая задача (Д. 16) линейна, так как тогда и система уравнений (Д. 19) линейна.

Рассмотрим в качестве примера краевую задачу

(Д.20)

точное решение которой При решении по методу Галеркина положим

т. е. будем искать приближенное решение в виде

Тогда невязка оказывается равной

Система уравнений (Д.30) после вычисления интегралов приобретает вид

и имеет решение

Таким образом, приближенное решение оказывается равным

Сравним, например, значения точного и приближенногорешений при х = 0,5:

Как видим, погрешность близка к 0,02 %.

Отметим, что принято трактовать множество функций, заданных на одном и том же интервале, как пространство обобщенных векторов, а интеграл от произве­дения двух функций по данному интервалу — как скалярное произведение этих векторов. При таком подходе последова­тельность координатных функций трактуется как базис в рассматриваемом пространстве, а уравнения (ДЛ9) означа­ют приравнивание нулю проекций невязки hn на первые п векторов из этого базиса. Поэтому методы описанного типа называются проекционными.

Проекционным является и метод конечных элементов. Его мы также поясним на примере задачи (Д.16). Разобьем отрезок на п частей с помощью точек деления

(Д.21)

и будем считать, что i-й конечный элемент — это

непрерывная функция линейная на каждом интервале причем Тогда любую непрерывную функцию линейную на каждом интервалеможно и притом единственным образом представить в виде

(Д.22)

для этого надо просто положить

Если мы хотим, чтобы сумма (Д.22) удовлетворяла краевым условиям из (Д.16), то надо положить

(Д.23)

Остальные постоянные Сі находим из проекционного ус­ловия, аналогичного (Д. 19):

(Д.24)

Если раскрыть квадратные скобки и представить левую часть в виде разности двух интегралов, то при вычислении первого полезно провести интегрирование по частям. Подставляя значения производных и отбрасывая нулевые слагаемые, получим, обозначая

(Тот же результат получится без интегрирования по частям, если при вычислении применить правило п. 2 Добавления о дифференцировании разрывных функций, а за­тем воспользоваться формулой (Д. 14).) Таким образом, из (Д.24) мы получаем систему уравнений для нахождения