Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 30 )

Рассмотрим следующий пример. Пусть А — это участок земной поверхности, скажем территории какого-либо государства вместе со всеми населенными пунктами этого государства. (Поверхность Земли можно считать для простоты плоской, а населенные пункты мыслить в виде точек, отмеченных на этом куске плоскости в геометриче­ских центрах тяжести плоских фигур, контурами которых служат границы этих населенных пунктов.) Пусть, далее, В — это карта данного государства, на которой отмечена лишь часть его городов. (Имеется в виду административная карта, на которую вообще ничего не наносится, кроме государственных — и, быть может, внутригосударствен­ных — границ и населенных пунктов.) В каком отношении находятся А и В? Хотелось бы считать, конечно, что от­ношение это — гомоморфизм. Но совершенно очевидно, что при буквальном понимании этого термина он абсолютно неприменим к данному случаю по той простой причине, что рассматриваемое соответствие не определено для произвольного элемента А: это отображение из А в В, но не отображение А в В.

Нельзя ли, однако (в полном соответствии с интуицией, которая подсказывает нам, хоть и нарушая при этом нормы ясности выражения, рекомендуемые «Логико-фи­лософским трактатом», все эвристические идеи, экспли­цируемые уже затем «по ведомству логической кодифи­кации»), попытаться найти (хотя бы одно) такое множество С, чтобы С оказалось гомоморфным образом А относитель­но некоторого набора предикатов, а В — гомоморфным образом С относительно того же набора, так что в результа­те отображение А и В (определенное для всех элементов А), являющееся произведением гомоморфизмов и само было бы гомоморфным?

Можно, и даже не единственным образом.

Вопрос стоит - каким же именно образом получена карта В? Можно например, считать, что вначале была составлена (быть может, лишь мысленно — значения этого не играет) «полная» карта С, на которой были от­мечены все имеющиеся в А города и села, а потом уже на С были вычеркнуты некоторые, сочтенные «лишними», детали, в результате чего и получилась В. То же получится в результате мысленного «вычеркивания» «несуществен­ных» населенных пунктов непосредственно из самого мно­жества А; при этом мы получаем «упрощенное» (неполное) «государство» D, точной картой, которого уже в свою очередь является В. В каждом из описанных вариантов одно из указанных соответствий, а именно, соответствие между государством («полным» А или «упрощенным» D) и его точной картой (соответственно С или В) является изоморфизмом: оно взаимно-однозначно и со­храняет все геометрические соотношения 51 между эле­ментами «оригиналов» (кроме самих по себе расстояний — карта в натуральную величину не слишком удобна; но отношения лю­бой пары отрезков из А или D и их образов из С или В остаются постоянными: А и С (или D и В) подобны в сбычном геометри­ческом смысле). Второе же преобразование («вы­черкивание») никак (вследствие своей «неполноты») гомоморфизмом не назовешь. Но нельзя ли здесь что-нибудь «подправить»?

Чтобы ответить на этот вопрос, следует уяснить, по какому принципу производилось (в обоих случаях они тождественны) «вычеркивание»? Если этот «принцип» был произволен (т. е., иными словами, не было никакого принципа, «вычерки­вание» производилось «наугад»), то дополнить такое пре­образование до гомоморфизма в этом «общем» случае не удается. Но реальные карты не получаются в результате такого «беспорядочного» вычеркивания де­талей. На всех множествах, о которых сейчас идет речь, определены некоторые отношения, и именно, эти отношения лежат в основе всех производимых при изго­товлении карт упрощений, идеализаций («вычер­киваний»). Так как речь идет о политико-администра­тивных картах, можно говорить, по крайней мере, о двух парах отношений. Первые два — это отношения эквива­лентности. Как мы знаем, на картах изображаются различ­ной величины кружками (или значками разной формы) города, имеющие различное число жителей. При этом, хотя, быть может, в пределах интересующей нас области и не найдется двух городов со строго равным населением, мы не изобретаем специального значка для обозначения каждого города, а обходимся одним значком для изобра­жения городов, население которых лежит в некоторых определенных границах. Скажем, Москва, Новосибирск, Токио и Лос-Анджелес обозначаются прямоугольниками или произвольными многоугольниками (свыше 1000 000 жителей), Тула, Зальцбург, Иерусалим и Ад­дис-Абеба — черными кружками (от 100 000 до 1 000 000), Конотоп, Тарту, оба Кембриджа — кружками с точками (от 10 000 до 100 000), а Старый Крым, Суздаль, Монако, Берлин (штат Нью-Хэмпшир) и Ганнибал — светлыми кружочками (до 10 000 жителей). Города, обозначенные одинаково, можно считать в определенном смысле экви­валентными (принадлежность общему классу эквивалент­ности есть бинарный рефлексивный, симме­тричный и транзитивный предикат). Заметим (это замечание понадобится нам в одном из дальнейших пунктов этого параграфа), что описанное разбиение на клас­сы можно трактовать двояким об­разом: 1) как наличие в множестве объектов четырех различных родов (скажем, называемых соответственно «городище», «город», «городок» и «городишко») и 2) как введение в нашу систему четырех постоянных одноместных предикатов («быть громадным городом», «большим городом», «небольшим» и «маленьким»).

Другое отношение эквивалентности и связанное с ним разбиение обусловлены различным статусом изображае­мых на карте городов. Можно, например, обозначить по-разному (пользуясь для описания названий различ­ными шрифтами) столицы государств, столицы республик при федеральной структуре государства (или же главные города провинций, штатов, департаментов, земель), ад­министративные центры областей (губерний, графств) и центры районов (уездов, округов)

Разумеется, ска­занное выше о возможности понимания такого разбиения как наличия четырех «сортов» объектов или выделения четырех индивидуальных одноместных предикатов пол­ностью относится и к этому случаю. Не нуждается в ком­ментариях то очевидное обстоятельство, что разбиения, производимые обоими указанными отношениями экви­валентности, вообще говоря, не совпадают.

Два других (также бинарных) отношения, естествен­ным образом определяемые на рассматриваемых множест­вах, индуцированы отношениями первой пары (хотя можно было бы ввести их в качестве исходных, посту­лировав, в случае надобности, связь между отношениями из обеих пар),— это отношения (частичного) порядка. Из предыдущего ясно, что примером цепочки, члены ко­торой упорядочены отношением, индуцированным первым из упомянутых выше отношений эквивалентности, может служить Шанхай — Тель-Авив — Бахчисарай — Вадуц. Второе упорядочение можно определить двумя различ­ными способами, согласно первому из которых Париж «главнее» и Марселя, и Бердичева, а согласно второму — только Марселя; если принять первый из этих способов упорядочения (более сильный), то примером упорядочен­ной цепочки может служить Вадуц — Шанхай — Псков — Гатчина — Лос-Анджелес.

Заметим теперь, что мы могли бы «чисто формальным образом» считать, что все не изображенные на какой-либо карте города (равно как и другие населенные пункты) «изображены» на ней, но только «белыми кружками на белом фоне», и по этой причине «плохо заметны» на карте. Такими «белыми кружками» естественно считать в случае карты, отображающей политико-административный статус и подчинение городов, всякого рода «прочие» города, вовсе не имеющие специального административного ста­туса или же такие, что их статус «не подлежит» отобра­жению на данной карте (скажем, районные центры на политической карте мира). Да и в «субординации» городов по числу жителей в них мы неяв­ным образом подразумевали возможность наличия на кар­те «белых» точек, «изображающих» кое-какие «прочие» населенные пункты: такая расплывчатая харак­теристика «до 10 000» номинально относится и к Суздалю, насчитывающему около семи тысяч жителей, и к хутору из трех домов, обозначенному разве что на километро­вой карте; но в отличие от «дискретного» случая «адми­нистративных» характеристик здесь было бы чрезвычайно затруднительно с самого начала четко и недвусмысленно указывать такую «границу», которая отделяла бы все наносимые на данную карту населенные пункты от всех не наносимых.

Сказанное позволяет нам трактовать «неполные» ото­бражения карт, связанные с «вычеркиванием» элементов, имеющих наинизший в смысле любого из определенных на исходном множестве отношений порядка ранг, как гомоморфные отображения некоторых их расширений, получаемых присоединением к исходному множеству и к результату некоторого «вычеркивающего» его преобразо­вания некоторого неопределенного (но такого, что после пополнения исходное множество и результат применения к нему рассматриваемого отображения ока­зываются равночисленными) числа «фиктивных» элемен­тов, которым по определению приписывается минимальный ранг. Отображения эти являются гомоморфизмами, переводящими каждую пару элементов исходного множества А, связанных отношением порядка, в пару элементов множества В, связанных теперь уже от­ношением нестрогого порядка: оба отношения порядка транзитивны, но в то время как исходное упорядочение (на множестве А) иррефлексивно, упорядочение на ре­зультате отображения (на множестве В) рефлексивно.

Конечно, такая замена отношения строгого порядка на отношение нестрогого порядка происходит в связи с каждым из двух упорядочений исходных множеств, о которых говорилось выше, и, более того, могла бы проис­ходить в связи с любым другим упорядочением элементов исходного множества. (В разбираемом нами примере было бы нелегко указать еще хоть одно «естественное» упорядочение — разве что упорядочение городов по за­нимаемой ими площади или по «возрасту»; но в принципе можно говорить о любом числе существенно различных упорядочений рассматриваемых множеств, и в содержа­тельных естественнонаучных теориях, являющихся для нас основным источником «подразумеваемых» интерпре­таций всех обсуждаемых понятий, в ряде случаев прихо­дится рассматривать большое число разнообразных упорядочений понятий, составляющих концептуальные системы этих теорий, причем упорядочения эти, вообще говоря, могут быть никак не связаны между собой.)