Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 94 )

Оказывается, что в общем случае картина аналогичная. Если алгебраическое уравнение степени п, вырождаясь, переходит в уравнение степени k < п, то в процессе вырож­дения п - k корней уходят в бесконечность, тогда как остальные k корней переходят в корни вырожденного урав­нения. Например, при три корня уравнения (9 п.3.7.3) уходят в бесконечность, а один стремится к 0,1, тогда как у уравнения (11 п.3.7.3) все корни остаются конечными (оно прине вырождается): три из них стремятся к 0, а один — к 12.

С помощью приведенного общего утверждения анали­зируется и случай, когда некоторые из коэффициентов алгебраического уравнения обращаются в бесконечность. Пусть, например, для уравнения (8) тогда как а и с остаются ограниченными; как ведут себя при этом корни? Переписав уравнение в равносильной форме

мы видим, что один из корней стремится к бесконечности, а другой — к нулю.

Для дифференциального уравнения, включающего неко­торый параметр, вырождением обычно называют понижение порядка этого уравнения. Пример такого вырождения был разобран в п. 3.7.2: это уравнение (7), полученное из урав­нения (1) при т = 0. Мы видели, что для сингулярно возмущенного уравнения, т. е. уравнения (1) с возникает кратковременный этап релаксации, на протя­жении которого значение существенно изменяется. Продолжительность этого этапа пропорциональна т, а изме­нение на нем идет по закону «кру­тизна» которого обратно пропорциональна значению т. При построении этой зависимости (во всяком случае, ее главной части) мало меняющиеся на релаксационном этапе правую часть уравнения и решение x(t) можно «заморозить», за­менив их соответствующими значениями при t = 0.

Оказывается, что разобранный пример является типич­ным, во всяком случае, для задач, описываемых линейными дифференциальными уравнениями. Если в уравнение входит малый параметр α и при α = 0 оно вырождается, понижая порядок на единицу, но прирешение сингулярно возмущенной задачи остается конечным на некотором интер­вале (а, и), то вблизи точек а и b могут возникнуть зоны, ширина которых имеет порядок α и на которых решение или его производные изменяются по описанному выше «круто­му» закону; вне этих зон решение возмущенной задачи близко к решению вырожденного уравнения. Если незави­симой переменной служит время, т. е. рассматривается раз­витие процесса во времени, то, как в задаче п. 3.7.2, говорят об этапе релаксации. Если же за независимую переменную принята геометрическая координата, то говорят о возникно­вении пограничного слоя вблизи концов интервала, на котором определено решение сингулярно возмущенной за­дачи. (Именно такая картина возникает при обтекании маловязкой жидкостью твердой стенки, причем малым параметром служит коэффициент вязкости.) Поэтому и функции вида называются функциями типа пограничного слоя. В теории сингулярно возмущенных уравнений можно найти методы построения асимптотических разложений ре­шения как в зонах пограничного слоя, так и вне этих зон, а также методы выяснения того, действительно ли решение возмущенной задачи остается конечным при если это

не ясно из физических соображений.

3.7.5. Осреднение быстро колеблющихся исходных зависи­мостей

Если изучаемая система включает быстро колеб­лющиеся во времени или в пространстве исходные зави­симости — например, механические или электромагнитные воздействия вибрационного характера либо мелкомасштаб­ные «периодические с переменной амплитудой» структу­ры,— то важным методом упрощения математической мо­дели является осреднение таких зависимостей. В некоторых случаях такое осреднение осуществляется совсем просто. Так, если рассматривается эволюция линейной системы под действием быстро колеблющегося внешнего воздействия, показанного на рис. 1, причем амплитуда этих колебаний остается конечной, то главную часть решения можно по­лучить, заменив это воздействие на и(t).

Рис. 1

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Мы будем рас­сматривать функции вида гдеа ω весьма велико, поэтому τ естественно называть быстрым временем. Будем считать, что функция f периодична по τ — для определенности с периодом Типичным примером может служить функция

описывающая так называемые модулированные колебания (рис. 2).

Рис. 2

Для функции f указанного вида осреднение определяется по формуле

т. е. осреднение производится по быстрому времени, тогда как «обычное» время t при этом считается замороженным. Отсюда можно представить в виде суммы

причем первое, главное слагаемое изменяется со «средней» скоростью, а второе, быстро колеблющееся, имеет среднее значение равным нулю.

Допустим теперь, что на осциллятор рис. 1 п.3.1.1 действует быстро колеблющаяся сила описанного типа. Выделив у этой силы главную часть, придем к дифференциальному урав­нению вида

где для определенности будем считать начальные условия нулевыми. В силу линейности уравнения имеем

(1)

где v и α— соответственно решения задач

Функция α быстро колеблющаяся; выразив ее через ψ с помощью функции Коши, можно с помощью интегрирова­ния по частям показать, что α при имеет порядок Таким образом, v — главная часть решения — получа­ется как решение задачи с осредненным внешним воз­действием.

Если внутренние параметры системы быстро колеблю­щиеся или если система нелинейная, то для получения главной части решения простого осреднения всех быстро колеблющихся зависимостей недостаточно, эта процедура может привести к прямым ошибкам. Глубинная причина этого в том, что если быстро колеблющаяся функция имеет нулевое среднее значение, то и произведение ее на «обыч­ную» функцию обладает этим же свойством; но произве­дение двух быстро колеблющихся функций с нулевым сред­ним значением каждой может не обладать этим свойством и потому дать при осреднении добавочный вклад: например, легко проверить, что при

однако

(Этот факт широко применяется в электротехнике при подсчете средней мощности переменного (синусоидального) тока в случае сдвига фазы между напряжением и током.)

Правильный порядок осреднения для таких систем можно найти в курсах теории колебаний; мы ограничимся здесь разбором лишь одного яркого примера, который впервые рассмотрел в 1951 г.

Рассмотрим маятник с вибрирующей осью, т. е. тело малых размеров массы т, укрепленное на конце стержня пренебрежимо малой массы длины l, который подвешен на шарнире и может колебаться в вертикальной плоскости, причем точка подвеса совершает принудительные вертикаль­ные колебания по закону Обозначив буквой φ угол отклонения маятника от вертикали, нетрудно вывести диф­ференциальное уравнение колебаний маятника

(2)

(здесь k — коэффициент трения в шарнире), что мы предо­ставляем сделать желающим. Будем считать, что колебания точки подвеса происходят с малой амплитудой и большой частотой, точнее, что

Примем рабочую гипотезу о том, что решение уравнения (2) можно представить в виде суммы (1) «обычной» функции v и быстро колеблющейся функции α с малой амплитудой и нулевым средним значением. Подставив эту сумму в (2) и ограничиваясь линейными членами по α, получаем уравнение