Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 29 )

Итак, снова гомоморфизм (относительно примерно такого же, как и в случае п. 2, набора «геометрических» свойств, не связанных непосредственно с наличием «треть­его измерения»: изображаются-то по сути дела вовсе не тела, а их поверхности).

4. Но уже предыдущий случай можно трактовать не­сколько иным образом, считая (что, пожалуй, даже боль­ше соответствует обычной интуиции, чем «абстрактно-гео­метрическая» схема «проектирования», зафиксированная в п. 2), что «невидимые» для «наблюдателя» элементы «оригинала» просто не имеют никаких об­разов.

Сам по себе результат проектирования от такой «униформизации» проектируемого множества (со­стоящей в замене пространственных объектов их «ниж­ними», т. е. ближайшими к плоскости проекции, поверхно­стями, и соответственно для двумерного случая: замене плоских «фигур» кривыми, образующими «нижние» части их контуров) не меняется. Поэтому не следовало бы спешить с заменой рассмотрения однозначных отобра­жений множеств в множества (частными случаями которых являются изоморфизмы и, более обще, гомоморфизмы) рассмотрением отображений некоторых подмножеств ис­ходных множеств (коль скоро именно эти «исходные» множества, а не их фактически отображаемые при подоб­ной трактовке подмножества, нам по каким-либо сооб­ражениям представляется более разумным считать «про­образами» получаемых «изображений»). Или, что то же самое, частичных (неполных, не всюду определенных на номинальной области задания) отображений. Однако сам факт эквивалентности этих двух трактовок подсказывает нам возможность обратного (в естественном смысле слова) перехода от частичных отображений ко всюду определен­ным как раз в тех случаях, когда, казалось бы, отображе­ние по самому существу дела является частичным, так что его, на первый взгляд, не удается подвести ни под одну из рассмотренных до сих пор категорий. А между тем подобные ситуации представляют (для теории позна­ния) значительный интерес.

Что может быть естественнее, например, для проводи­мого здесь анализа, чем рассмотрение случая, когда (вследствие ли недостаточной разрешающей способности воспринимающего устройства или же из-за какого-либо еще из сознательно отбрасывавшихся нами до сих пор «микроскопических» факторов) на фотографии мы не на­ходим некоторых деталей изображаемой картины, отнюдь не загороженных другими предметами, находящимися в поле зрения? (Простой пример: фотоснимок слона с сидя­щей на его хоботе мухой в 1 : 200 натуральной величины, на котором удается рассмотреть не всех изображаемых персонажей.) Можно даже сказать, что при любом «моделировании» (в любом разумном смысле этого слова) мы всегда отбрасываем какие-то детали, иначе незачем было бы и «модель» придумывать. Насколько точной ни была бы, например, географическая карта, претендующая на «адекватное» изображение какого-либо участка земной поверхности, всегда можно указать детали ландшафта, никак не отображенные на ней, причем дело здесь, как нетрудно понять, не только в масштабе (определяющем «разрешающую способность» изображения), но и в некото­рых априорных (во всяком случае, не обусловленных чисто техническими возможностями изготовления карты) кри­териях отбора «существенных» характеристик земного рельефа, признаваемых нами «достойными» изображения. Процессы идеализации, неотъемлемым образом связан­ные с построением естественнонаучных теорий, обуслов­ливают выбор «существенных» атрибутов Мира, совокуп­ность которых «моделирует» концептуальная схема дан­ной теории. Все остальное, признанное «несущественным», остается за ее бортом.

Конечно, здесь можно было бы сказать, что «сущест­венность» и «несущественность» признаков — понятия от­носительные, что водораздел между ними в каждом кон­кретном случае определяется конкретными потребностя­ми, стимулирующими развитие данной конкретной тео­рии, что то же самое можно сказать о степени детализации теории (так сказать, «масштабе ее выполнения»), что, наконец, и классификация признаков, и степень подроб­ности их перечисления и описания могут быть более или менее удачными, причем представления об «удачности» теории опять-таки должны носить конкретный характер и зависеть от конкретных условий. Все это, однако, весь­ма общие места, не становящиеся более плодотворными от порторения слова «конкретный» (кстати, одного из самых абстрактных терминов научного лексикона). Что и говорить, единых и единообразных гарантий «адекват­ности» у ученых нет.

Но предметом данного обсуждения и не являются срав­нительные достоинства различных теорий и критерии, лежащие в основе их формирования (эмпирические, дедук­тивные, методологические, всякого рода смешанные). Речь пока идет лишь о констатации действительно уни­версального факта: ни к одной научной теории, ни к одной фотографии (если не считать «вырожденных» предельных случаев, вроде описанного в п. 1), ни к одной карте поня­тие гомоморфизма как таковое (вспомним, что го­моморфизм определялся до сих пор как некоторое всюду определенное однозначное соответствие) не при­менимо. А ведь именно эти понятия и всевозможные их модификации являются эвристическим источником для привлечения понятия гомоморфизма (и, конечно, его част­ного случая — изоморфизма) в целях пополнения и уточнения категориального аппарата теории познания.

Для математика (во всяком случае, пока он выступает только как математик) проблемы здесь нет. Говоря на языке теории множеств (почитаемой до сих пор громад­ным большинством математиков в качестве теоретической и даже подчас «логической» базы своей науки), математик скажет, что в случае не всюду определенного отображения какого-либо множества А в некоторое множество В по­нятие гомоморфизма совершенно незачем привлекать уже хотя бы потому, что такое отображение вообще не являет­ся отображением А в В, так что следовало бы говорить об отображении из А в В и исследовать, если это представ­ляет интерес, вопрос о характере отображения в В мно­жества всех прообразов элементов B, to есть отображения некоторого подмножества множества А в множество В (и это-то отображение может, в частности, оказаться гомо­морфным). Алгебраист мог бы добавить к сказанному, что на самом деле свойства множества, «объемлющего» область определения рассматриваемого отображения («из» которого, собственно, и имеет место данное отображение), могут быть совсем не безразличны для характеристики данного отображения,— и даже привел бы соответствую­щие примеры.

Сказанное может показаться странным: ясно ведь, что любое множество можно бесчисленным множеством спо­собов пополнять до объемлющих его множеств самой раз­личной природы, причем ничего более существенного об этих «потенциальных пополнениях», исходя из рассмо­трения самого «пополняемого» множества, конечно, не скажешь. Дело, однако, в том, что, говоря о «подмножествах» и «надмножествах», алгебраисты (в том числе логики, занимающиеся теорией моделей) имеют, как правило, в виду отнюдь не произвольные множества, связанные с данным множеством лишь отношением включения, а подалгебры (и «надалгебры») рассматриваемой алгебры.! (Рассмотрение же общего случая, как принято об этом говорить, «неинтересно» — в том смысле, что для него не удается доказать новых теорем.) Если же вдобавок (что подразумевается не всегда) подал­гебра, являющаяся областью определения некоторого гомоморфного отображения, сама гомоморфна исходной алгебре, то гомоморфный образ этой подалгебры оказы­вается в то же время и гомоморфным образом всей «объем­лющей» (исходной) алгебры: композиция (произведение) гомоморфизмов есть гомоморфизм.

И именно эта, «тривиальная» с алгебраической точки зрения, возможность подсказывает нам руководящий прин­цип, которому (хотя бы в идеале) разумно было бы следо­вать для осуществления цели, явно напрашивающейся уже в ходе предыдущих рассмотрений: доопределить гомоморфизм, определенный на некотором подмножестве некоторого («моделируемого») множества, таким образом, чтобы получить гомоморфизм, определенный уже на всем исходном множестве, причем результаты применения его к элементам, принадлежащим первоначальной области определения, были бы те же, что и до расширения. Такого рода «принципы перманентности», чрезвычайно характер­ные для подхода математики к проблеме расширения предметных областей и введения на расширенных облас­тях различных операций и отношений, определенных на исходных предметных областях, сами по себе не таят в себе никаких рецептов, согласно которым такие расширения можно было бы производить в некотором смысле единообразно, механически, «а лгорифмически». И странно было бы, если проблемы, по всей вероятности не имеющие общего решения в (относительно) ограниченной и очищенной от всяческих «патологий» математической сфере, поддавались бы попыткам такого общего решения в столь деликатной области, как теория познания. Так что единственная практическая ценность таких принципов состоит в данном случае в их эвристи­ческой роли, в достижении хотя бы минимальной ясности, в каком же, собственно., направлении имеет смысл (пусть не наверняка, но хотя бы с некоторой разумной долей уверенности в успехе) развивать и модифицировать об­суждаемые логико-методологические категории, чтобы они действительно способствовали некоторому прояснению пестрой и прихотливой картины, развертываю­щейся перед исследователем, интересующимся структурой познавательной деятельности. (Не лишне подчеркнуть еще раз, что предметом настоящей работы является обсу­ждение главным образом «формальных», структурных ас­пектов гносеологии, не в большей мере заменяющее обсу­ждение ее проблем по существу, чем правописание исчер­пывает проблемы литературные; но ведь и литература не всегда может игнорировать нормы правописания.)

Но эта «единственная ценность» — отнюдь не безделица. Если «стратегия пополнения» и не гарантирует нам успеха в каждом конкретном случае, то она зато настолько проста по своей идее, что поиск оказывается весьма целенаправ­ленным. По сути дела, задача «пополнения» (расширения, доопределения) частично определенного отображения до гомоморфизма сводится к тому, что для некоторых данных алгебр (т. е. множеств с наборами определенных на них предикатов) А и В таких, что задано некоторое отобра­жение из А и В, требуется найти хотя бы одно такое мно­жество С, что С есть гомоморфный образ А, а В есть гомо­морфный образ С.