Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 48 )

Ясно, что требование простоты модели в каком-то смысле противоположно требованию ее адекватности: как правило, чем модель более адекватна, тем она менее проста и тем труднее ее анализ. (Впрочем, нередки случаи, когда услож­нение модели может ухудшить ее адекватность: так бывает, например, если при выписывании добавочных уравнений привлекаются параметры, известные с весьма низкой точно­стью, или если сами эти уравнения сомнительны.) Поэтому часто бывает, что, выбрав модель, приходится ее упрощать, т. е. переходить к новой модели. При этом можно упрощать либо содержательную модель объекта, либо ее математиче­скую модель. Опытный специалист обычно идет по первому пути, так как при этом остаются выполненными наиболее существенные физические соотношения и более ясны посту­латы модели.

3.1.6. Прямые и обратные задачи математического моделирова­ния

1. Прямая задача: все параметры исследуемой системы известны и изу­чается поведение модели в различных условиях.

2. Обратные задачи:

а) Задача распознавания: определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирова­ния. По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы управляют поведением объекта, и находят опреде­ляющие параметры модели. В обратной задаче распознавания требуется определить значения параметров модели по известно­му поведению системы как целого.

Примеры задач распознавания:

- Задача электроразведки: определение подземных структур при помощи измерений на поверхности.

- Задача магнитной дефектоскопии: определение дефекта в де­тали, помещенной между полюсами магнита, по возмущению магнитного поля на поверхности детали.

б) Задача синтеза (задача математического проектирования): по­строение математических моделей систем и устройств, которые должны обладать заданными техническими характеристиками. В отличие от задач распознавания, заключающихся в определении параметров модели, соответствующей реальному состоянию системы, в задачах синтеза отсутствует требование единствен­ности решения. Отсутствие единственности решения позволяет из нескольких возможных решений выбрать технически наибо­лее приемлемый результат.

Примеры задач синтеза:

- Синтез диаграммы направленности антенны: определение распределения токов, создающих заданную диаграмму на­правленности антенны.

- Синтез градиентных световодов: определение профиля функ­ции диэлектрической проницаемости, при котором световод обладает заданными характеристиками.

3. Задача проектирования управляющих систем: особая область матема­тического моделирования, связанная с автоматизированными информа­ционными системами и автоматизированными системами управления.

3.1.7. Универсальность математических моделей. Принцип ана­логий

Универсальность математических моделей есть отражение принципа материального единства мира.

Математическая модель должна описывать не только отдельные конкретные явления или объекты, а достаточно широкий круг разно­родных явлений и объектов.

Одним из плодотворных подходов к моделированию сложных объектов является использование аналогий с уже изученными явления­ми.

Процессы колебаний в объектах разной природы.

1. Колебательный электрический контур.

Сопротивление проводов считаем рав­ным нулю.

q(t) — заряд на обкладках конденсатора.

v(t) — напряжение на обкладках конден­сатора.

С — емкость конденсатора L — индуктивность катушки

Е — э. д.с. самоиндукции

i — ток

Закон Ома:

2. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популя­ций.

N(t) — численность растительноядной популяции 1

M(t) — численность плотоядной популяции 2

Пренебрегаем естественной смертностью популяции 1 и рож­даемостью популяции 2.

Система находится в равновесии, если

Линеаризованная система

3. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости.

p(t) — зарплата

N(t) — число занятых работников

Равновесие рынка труда: за плату р0>0 согласны работать N0 >0 человек.

Предполагается, что

а) работодатель изменяет зарплату пропорционально отклоне­нию численности занятых работников от равновесного;

б) численность работников изменяется пропорционально из­менению зарплаты относительно р0

Отсюда

3.1.8. Некоторые другие требования

Существенным явля­ется также свойство полноты математической модели, со­стоящее в том, чта эта модель дает принципиальную воз­можность с помощью математических методов получить интересующие нас утверждения. Так, в примере п. 3.1.1, если мы в качестве модели ограничиваемся уравнением (1 п. 3.1.1), то для определения частоты колебаний эта модель является полной, а для определения амплитуды — неполной, так как для последнего нужны добавочные данные.

Еще одно важное требование к математической модели можно назвать ее продуктивностью. Оно связано с тем, что изучаемый объект может включать различные параметры — такие, как массы, длины и т. п. его компонент, включать функциональные зависимости, которые считаются задан­ными и описывают связи между рассматриваемыми ве­личинами (например, связь между усилием и перемещением в случае нелинейного закона упругости). Все эти задаваемые параметры и зависимости, называемые исходными данными модели, влияют на значения величин, получаемых в резуль­тате решения математической задачи. Упомянутое требо­вание состоит в том, чтобы в реальных ситуациях исходные данные можно было бы действительно считать заданными, т. е. чтобы их можно было бы как-то измерить, или под­считать, или найти в справочниках и т. п. При этом, если речь идет об измерениях, то исходные данные должны легче поддаваться измерению, чем получаемые, так как в противном случае теряет смысл исследование модели. (далее будет приведен пример анализа продуктивности формулы для подъемной силы.)

Если реально получить исходные данные затруднитель­но, то после изучения математической модели мы узнаем только, какими свойствами могут обладать объекты из рассматриваемого класса, но порой свойства интересующего нас конкретного объекта остаются неясными. Этому вопросу не всегда уделяется достаточное внимание, что существенно снижает прикладную значимость многих ис­следований.

Отметим, далее, требование робастности модели, т. е. ее устойчивости относительно погрешностей в исходных данных. Всегда надо иметь в виду, что эти данные могут быть известны лишь с большей или меньшей точностью и такая неопределенность не должна существенно влиять на резуль­тат исследования. Имеется ряд правил, способствующих этой устойчивости. Так, следует избегать вычитания близких друг к другу приближенных значений величины, потому что при таком вычитании относительная погрешность резко возрастает: образно говоря, не следует вычислять массу шляпы, взвесившись сначала в шляпе, а затем без нее и взяв разность результатов.

Пусть, например, даны и тогда

а — b =2,8 ± 0,2. Здесь а и b известны с точностью до 0,04 %, а а — b — до 7 %; точность ухудшилась в 200 раз!

Выражения, содержащие такие раз­ности, следует преобразовывать. (Например, вычислив на микрокалькуляторе значение при а = 15721, α = 0,3, получим, считая значения а и α точными, l = 9 • 10-6; если же преобразовать эту формулу к виду то получим существенно более инфор­мативное значение Неустойчивость ма­тематической модели может получиться из-за включения в нее функций, быстро изменяющихся на участке, где значе­ние аргумента известно лишь с невысокой точностью, и т. д. Желательным, хотя и не обязательным является свойство наглядности математической модели. Под этим обычно понимают более или менее непосредственный, ясный содер­жательный смысл ее компонент, который дает возможность не только лишний раз проконтролировать модель, но порой и наметить план решения математической задачи, а также ориентировочно предвидеть результат решения, что может существенно ускорить процедуру. Так, в уравнении (1 п. 3.1.3) последовательные слагаемые — это (с противоположным знаком) силы инерции, трения и упругости, а само урав­нение является записью для рассматриваемой системы изве­стного принципа механики: сумма всех сил, действующих на тело (включая силы инерции), равна нулю. В уравнении (1 п. 3.1.4) левая часть — с точностью до общего множителя — равна скорости возрастания тепловой энергии в малом объе­ме, а правая — суммарному потоку этой энергии через соответствующую поверхность снаружи внутрь, так что само уравнение является записью закона сохранения энергии.

3.1.9. Иерархия моделей

Принцип «от простого к сложному»: построение цепочки (ие­рархии) все более полных моделей, каждая из которых обобщает пре­дыдущую, включая ее в качестве составного случая.