Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 123 )

(Д.25)

где

Применим для примера описанный метод к задаче (Д.20), приняв Равенства (Д.23) приобретают вид

т. е. после упрощений

Решение этой системы по методу Гаусса с учетом значений С0 и С5 приводит к значениям

В частности, приближенное значение решения при х=0,5 получается равным 0,4333 с погрешностью 0,7 %.

Конечно, в данном примере первый метод и проще второго и дает более высокую точность. Однако метод конеч­ных элементов оказывается весьма эффективным при реше­нии уравнений с частными производными, когда число про­странственных переменных не менее двух, а область, в которой строится решение, имеет сложную форму. Пусть, например, область (D) имеет вид восьмиугольника, показан­ного на рис. 4, а на ее границепоставлены однородные условия первого рода:задано.

Рис. 4

Произведем триангуляцию этой области, т. е. разобьем ее на треугольники так, что любые два из них либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо общую сторону; на рис. 4 триангуляция изображена штриховыми линиями. За­нумеруем все вершины (на рис. 4 их 50) и поставим каждой Аі из них в соот­ветствие конечный элемент Это непрерывная функция, линейная в каж­дом треугольнике выбран­ной триангуляции и равная единице в Аі и нулю во всех прочих вершинах; на рис. 4 выделена одна из вершин Аі и заштрихована область, в которой функция отлична от нуля (ее график напоминает шатер). Дальнейшее построение приближенного решения проходит аналогично тому, как в одномерном случае.

Метод конечных элементов имеет большое число вариантов, приспособленных к решению разнообразных за­дач. Все эти методы основаны на применении функций — «конечных элементов», каждая из которых отлична от нуля лишь в небольшой области.

4. Итерационные методы. При приближенном решении математических задач широко применяются различные итерационные методы. В каждом из таких методов некото­рая единообразная вычислительная процедура повторяется вновь и вновь, причем каждый раз результат проведенного вычисления кладется в основу последующего вычисления. В благоприятных случаях это приводит к построению при­ближенного решения со все большей и большей точностью; поэтому итерационные методы называются также методами последовательных приближений. Ясно, что они наиболее удобны для организации циклов при составлении программ для ЭВМ.

Поясним структуру итерационного метода на примере конечного уравнения

(Д.26)

Перепишем его в какой-либо из равносильных форм вида

(Д.27)

это можно сделать многими способами, что приводит к различным результатам в применении итераций. Затем вы­берем более или менее произвольно нулевое приближение х=х0; желательно только, если о точном решении что-либо известно, выбрать х0 поближе к нему — чем ближе, тем меньше итераций придется проводить. Подставив х = х0 в правую часть уравнения (Д.27), получаем первое при­ближение проделав то же с получаем и т. д. Общая рекуррентная формула (т. е. формула, выражающая последующие члены последователь­ности через предыдущие) здесь имеет вид

(Д.28)

Теоретически мы можем, вообще говоря, продолжать этот процесс бесконечно. Если он сходится, т. е. хп имеет конеч­ный предел прито в пределе получается точное решение уравнения (Д.27), т. е. (Д.26). (На практике схо­димость обычно обнаруживается уже после нескольких ите­раций и вычисления прекращаются, когда хп+1 отличается от хп меньше чем на некоторое разумно выбранное заранее малое число.) Если процесс расходится, то это не значит, что и решения нет: может быть, оно есть, но уравнение (Д.27) или значение х0 выбраны неудачно.

В качестве примера рассмотрим уравнение

(Д.29)

Для его решения перепишем его в виде

и проведем итерации, начиная с х0 = 0. Получим

Вычисления с точностью до 10-7, которые мы предоставляем читателю, показывают, чтоСчитая последнюю цифру сомнительной вследствие округлений. можем написать точное решение: х = 0,338936 с точностью до 10-6. Нетрудно проверить, что уравнение (Д.29) имеет еще два вещественных решения, их также можно найти по методу итераций, но иначе организованному.

Геометрический смысл метода итераций для уравнения (Д.27) показан на рис. 5, причем вариант а соответствует случаю — точное решение), вариант б — случаю , и вариант в — случаю(разберите случай

Рис. 5

Мы видим, что если и х0 выбрано не слишком далеко от то процесс сходится со скоростью геометрической прогрессии, т. е. Наиболее благоприятен случай, когда тогда процесс сходится со сверхгеометриче-

ской скоростью, т. е. быстрее геометрической прогрессии с любым знаменателем. Если то процесс итераций либо расходится либо сходится, но не к (Проведите итерации для равносильных уравнений и и объясните результат.)

Методы последовательных приближений применяются также при решении систем конечных уравнений, диффе­ренциальных, интегральных и других уравнений и их систем, при нахождении экстремумов функций и функ­ционалов и т. д.

5. Число степеней свободы и многомерные многооб­разия. Эти понятия довольно часто появляются при описании математических моделей; кратко поясним их со­держание.

Как известно, положение точки в пространстве можно охарактеризовать в различных системах координат — декар­товой, цилиндрической, сферической и др., но для всех них является общим то, что это положение определяется тремя координатами. С другой стороны, положение точки на пло­скости или криволинейной поверхности определяется двумя координатами, а на линии — одной координатой. Это выра­жают словами: при выборе точки в (обычном) пространстве имеется три степени свободы, на поверхности — две и на линии — одна степень свободы. Иначе говоря, пространство трехмерно, тогда как поверхности двумерны, а линии — одномерны.

В общем случае понятие числа степеней свободы вводится так. Пусть имеется некоторая совокупность объек­тов (в предыдущем примере — совокупность всех точек в пространстве), каждый из которых можно охарактеризовать указанием значений некоторых скалярных непрерывных параметров (в предыдущем примере — координат). Пусть эти параметры являются:

1) независимыми, т. е. могут принимать произвольные значения: например, если зафиксировать все параметры, кроме одного, то этот один можно еще произвольно менять, быть может, в некоторых пределах;

2) существенными, т. е. при любом малом изменении параметров рассматриваемый объект фактически меняется.

Тогда, если таких параметров k, то говорят, что при выборе объекта из рассматриваемой совокупности имеется k степеней свободы, а сама совокупность называется k-мерным многообразием. Параметры называются (обобщен­ными) координатами на этом многообразии; как и в случае обычных координат в обычном пространстве, их можно выбирать различными способами, как это окажется удобнее в том или ином исследовании, но при этом их число остается неизменным. Объекты, составляющие многообразие, назы­ваются его точками. Таким образом, многомерное многооб­разие получает конкретное истолкование.