Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 64 )

Имеем также другое каноническое отображение относящее каждой паре элемент Это отображение индуцирует канонический сюръективный гомоморфизмОбраз элемента обозначим через f(x) и назовем его значением ростка f в точке х. Ядро эпиморфизма θ является максимальным идеалом.

Поскольку постольку k-модуль раз­лагается каноническим образом в прямую сумму:

Как правило, мы будем отождествлять і(k) и k.

Нетрудно показать, что — локальное кольцо. Мы докажем более сильное утверждение.

Лемма. Пусть (и, φ, п) — некоторый модуль много­образия в точке х. Беря всевозможные композиции отображения φ с локальными аналитическими функ­циями в окрестности точки 0kn, мы получаем изо­морфизм : →, такой, что ( )= х. (Здесь обозначает кольцо ростков аналитических функ­ций в точке а — его максимальный идеал). Кольцо изоморфно локальному кольцу сходя­щихся степенных рядов от п переменных.

Доказательство. Все утверждения леммы оче­видны, за исключением, возможно, последнего, касающегося локальности кольца сходящихся степен­ных рядов от п переменных. Для того чтобы его до­казать, нам надо установить, что любой сходящийся степенной ряд f, для которого обратим в нашем кольце. Поскольку (где и и поскольку функция аналитична в точке а, композиция 1/f аналитична в точке . Лемма доказана.

Пусть Наименьшее целое неотрицательное число μ, такое, что обозначим Выбрав некоторый модуль точки х, мы можем с помощью предыдущей леммы интерпре­тировать число как степень первой ненулевой однородной компоненты ряда

3.5.8. Касательное и кокасательное пространства

ПустьПо определению

— кокасательное пространство в точке х, — касательное пространство в точке х.

Касательное пространство допускает еще два эквивалентных описания.

1) Пространство канонически изоморфно пространству дифференцирований :). (То есть линейных отображений таких, что где .)

Действительно, пусть Тогда v представляет собой некоторую линейную форму на х, анну­лирующуюся на Продолжим эту форму на все пространство полагая v = 0 на k. Покажем, что такая форма является дифференцированием. Поскольку v —линейное отображе­ние (над k), нам надо показать, что

для любых . Заметим, однако, что левая и правая части этого соотношения билинейны по f и g, а потому нам достаточно установить его для трех частных слyчаев:

Если имеют место случаи (а) или (в), то обе части нашего соотношения равны нулю; в случае (5) наше соотношение вытекает непосредственно из того факта, что отображение v линейно и обращается в нуль на k.

Обратно, пусть задано дифференцирование Из свойств дифференцирования легко сле­дует, что θ аннулируется на k и на и потому однозначно определяет некоторую форму v на про­странстве т. е. некоторый касательный вектор Описанное соответствие, как легко прове­рить, является изоморфизмом.

2) Пространство канонически изоморфно про­странству Сх «классов кривых, касающихся друг друга в точке х».

Сначала точно определим пространство Сх. Пусть — множество пар где N — открытaя окрестность точки и — морфизм, такой, что Введем в множестве следующее отношение эквивалентности. Пусть i=l, 2. Выберем в точке х какой-нибудь модуль (и, φ, п). Отображение определено в окрестности нуля Мы скажем, что две «кривые» и эквивалентны (или касаются в точке х), если Через Сх обозначим множество соответствующих классов экви­валентности элементов множества Заметим, что отображение, сопоставляю­щее каждой паре производную определяет биекцию Нали­чие таковой позволяет ввести в Сх структуру вектор­ного пространства над полем k.

Нетрудно проверить, что эта структура и само определение множества Сх не зависят от выбора модуля В самом деле, пусть — дру­гой модуль в точке х, и пусть Легко видеть, что