Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 74 )

2) Пространство X некомпактно.

Доказательство.

1) Поскольку и поскольку мно­жество открыто в X, существует номер такой, что Выбрав индекс γ таким образом, чтобы для всех п, мы видим, что а множество Xγ компактно.

2) Некомпактность пространства X очевидна, так как для. любого индекса γ.

3.6. Общие принципы построения математической модели

3.6.1. Общие принципы построения модели.

Разработка математических моделей систем связана с проведением очень трудоемких и разнообразных исследований. Обычно эти исследования начинают на этапе проектирования и заканчивают либо в процессе эксплуатации, либо после экспериментальных работ, организованных на средствах системы. На этапе проектирования в первую очередь решают вопросы выбора методов и способов реализации математических моделей при помощи вычислительных машин. При решении этих вопросов определяю­щим фактором является ожидаемая сложность модели. В боль­шинстве случаев этот фактор приводит к тому, что на этапе теоретических исследований приходится рассматривать целый комплекс вопросов, связанных с поисками наиболее точных и в то же время достаточно простых в программном исполнении форм математиче­ского описания процессов в исследуемых системах. На практике при изучении указанных вопросов обычно предполагает­ся, что процессы в элементах исследуемой системы могут быть описаны с помощью решений дифференциальных, разностных или функциональных уравнений.

Среди названных способов наиболее общей формой описания процесса функционирования элементов систем является непосредственное представление выходных характеристик с по­мощью функционалов, определенных на некотором известном мно­жестве входных функций.

При использовании такого явного описания зависимости между входом x(t) и выходом z(t) характеризация широкого класса не­линейных элементов может быть выполнена с помощью функцио­нальных рядов Вольтерра:

(1)

В области определения каждого ядра его ортогональное разложение по собственным функциям обычно за­писывают в виде:

(2)

Однако при достаточно больших значениях j и Мj реализации ядер Вольтерра высокого порядка очень трудоемка. Поэтому при построении моделей элементов с использованием подобных функ- циональных рядов нужно: 1) знать перспективы определения ядер по результатам натурных экспериментов; 2) найти такую конечную систему ортонормированных функций для каждого ядра чтобы достичь требуемой точности аппроксима­ции каждого оператора преобразования и в то же время стремить­ся к возможной простоте описаний, ибо от этого в значительном степени зависит время последующего моделирования.

Выбор типа разложения ядер заключается в том, что наилучшая аппроксимация состоит из первых упорядочен­ных собственных значений и им соответствующих собственных функций. Однако каких-либо общих рекомендаций по методам решения всей задачи в целом в настоящее время не имеется, за исключением того, что для гауссовых сигналов задачу определения ядер второго порядка можно свести к нахождению собственных функций некоторого интегрального уравнения. В общем случае во­просы выбора конечной системы собственных функций ядер а также принципы конструирования ядер высших по­рядков для гауссовых и негауссовых распределений из:за трудно­стей решения возникающих сложных функциональных уравнений пока еще не ясны.

Многие реальные элементы удобнее, а иногда просто и необхо­димо описывать в дискретной области с помощью дискретных функциональных рядов Вольтерра. Для таких систем ядра обычно аппроксимируют конечной суммой:

(3)

При использовании такого описания наиболее трудоемкой и наименее изученной операцией является задача определения для каждого элемента совокупности линейно независимых функций φі, где (первый член разложения ряда Вольтерра позволяет описывать процессы, происходящие в линейных элементах).

Часто для описания процессов используют системы дифферен­циальных или разностных уравнений:

(4) (5)

Для определения параметров, входящих в уравнения (1)-(5), в процессе разработки системы проводят эксперимен­тальные исследования на элементах, а если удается, то и на сред­ствах всей системы в условиях ее нормального функционирования. Исследования отличаются друг от друга охватом реальных средств системы и задачами, которые могут быть решены при их проведенни, но несмотря на это, в результате получают информацию, в определенной степени характеризующую свойства всей системы. Чтобы объединить полученную информацию и тем самым подготовить условия для определения оцениваемых показателей с максимальной точностью, на практике стремятся разбить сложную систему на такую совокупность подсистем, которая наилучшим образом отображала работу и функциональное взаимодействие всех ее элементов, участвующих при постановке того или иного вида физического эксперимента. Структурное объединение математических описаний этих подсистем с теми подсимтемами, которые по каким-либо причинам не исследовались в ходе физических экспериментов, но определяют процессы принятия решений в ходе выполнения системой своего целевого назначе­нии, и составляет моделирующий алгоритм системы.

Например, если каждый элемент системы, включая и модель и взаимодействия подсистем, описывается с помощью линейных раз­ностных или дифференциальных уравнений, то при составлении модели всей системы применим метод типовых звеньев (модудей). Суть этого метода состоит в том, что, используя описание каждого элемента, на основании формальных правил, которые соответствуют некото­рым типовым соединениям (параллельное, последовательное и т. д.), определяют на основании законов операционного исчисле­нии передаточную функцию всей замкнутой системы.

Обычно такой метод построения моделей систем ис­пользуют тогда, когда удается в достаточно малой области, чаще всего около установившегося режима работы системы, применить методы линеаризации и описать каждый элемент системы линей­ными разностными или дифференциальными уравнениями. Однако такой способ создания динамических систем в некоторой степени условен, хотя и очень широко применяется при изучении процессов в системах.

Более точным является метод описания, основанный на непос - редственном использовании тех нелинейных дифференциальных или разностных уравнений, которые на основании теоретических исследований являются наиболее адекватным описанием свойств каждого реального элемента системы. При таком описании систем не возникает ошибок из-за метода линеаризации, а если и услож­няется программная реализуемость моделей, то она окупается уве­ренностью в том, что из-за принятого описания не возникает ошибок в определении выходных характеристик всей системы. Но рассмотренные способы описания реальных элементов, а тем более способы образования моделей систем, не охватывают многих практически важных случаев. Данный вывод является следствием того, что обычно система состоит из большого количества разнотипных элементов и подсистем, которые в процессе функционирования выполняют различные функ­ции. По этим причинам при разработке моделирующего алгоритма системы приходится пользоваться более сложными математическими конструкциями: для описания процессов функциони­рования и взаимодействия подсистем, наряду с функциональными операторами, использовать логические операторы; для имитации случайных процессов и последовательностей разрабатывать раз­личного рода датчики случайных чисел; при анализе многоканаль­ных систем привлекать схемы и методы описания, которые отно­сятся к теории массового обслуживания и т. д.

Несмотря на такое значительное многообразие способов описания реальных процессов, практически все реальные системы могут быть описаны математическими схемами, предложенными и образующими класс агрегатированных (модульных, блочных) систем (подсистемами подобных систем являются агрегаты (модули, блоки)). Процес­сы преобразования входной информации в агрегатированных си­стемах осуществляются с учетом текущего состояния каждого агре­гата. В агрегатах формирование выходных сигналов происходит в соответствии с некоторым заданным алгоритмом, который учиты­вает не только вероятностную природу функционирования элемен­тов агрегата, но и реально существующие обратные связи. Част­ными случаями агрегатированных систем являются системы: дина­мические, массового обслуживания, кусочно-линейные, введенные в практику и т. д.

В общем случае при использовании того или иного способа описания реальных подсистем моделирующий алгоритм может быть записан с помощью операторных уравнений вида