Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 44 )

Особенно интересны методы, основанные на комбина­ции нескольких из перечисленных принципов. К таким методам и принадлежит предложенный и метод оврагов.

Если допустить для простоты, что мы ищем минимум функции двух переменных, то использование «овраговой тактики» можно наглядно представить себе следующим образом. Из произвольной точки «пересеченной местности» «наощупь» ищется направление максимального уклона (градиент); затем, когда угол спуска уменьшается до не­которой априорно заданной величины, спуск прекра­щается. Что будете вы делать в такой ситуации на реаль­ной местности, когда вам покажется, что спуск привел вас к «руслу оврага»? Очевидно, попытаетесь выяснить, куда же опускается сам овраг? Но поскольку уклон русла обычно значительно меньше уклона боковых склонов ов­рага, то у нас пока нет никаких указаний на то, куда же спускается само русло. Попробуем еще раз наугад («сле­пой поиск»), отойдя от конца предыдущего спуска «вбок» (т. е. по перпендикуляру к нему, но в нужную ли сторону, мы пока не знаем) на некоторое априорно заданное расстояние — «овражный шаг», откуда начнем новый спуск до прежней величины минимального уклона. Теперь произвол кончился: сравнив уровни концов двух спу­сков, мы продолжаем соединяющий их отрезок по направ­лению вниз (если же уровни случайно оказались равными, то в любую сторону (можно кинуть монету, а можно, например, всегда в таких случаях поворачивать вправо от предыдущей траекто­рии и т. п.) на величину овражного шага, оттуда начи­наем новый спуск, за конец которого продолжаем на вели­чину овражного шага отрезок от конца предыдущего спуска, оттуда снова спускаемся по «склону оврага», далее снова идем «вдоль русла», и т. д.

Конечно, когда переменных несколько (на практике — сотни), наглядность теряется, но суть остается прежней. Верно и то, что для случая «произвольной» функции, не обнаруживающей никаких «правильностей» в располо­жении соседних участков графика, такая тактика совер­шенно бесполезна: график ведь, вообще говоря, вовсе не будет напоминать рельеф реальной местности. Но для функций «хорошо организованных», обнаруживающих определенные (какие именно — затруднительно было бы уточнить) закономерности в расположении «впа­дин», «лощин», «пиков» и «хребтов», овраговая тактика представляется очень естественной. Весьма замечательно то обстоятельство, что те величины, которые выше были охарактеризованы как «априорно заданные», в ходе са­мого экспериментального поиска могут (и должны!) варьи­роваться: овражный шаг надо попробовать удлинить, если рельеф слишком пологий (мала разница уровней между концами соседних спусков), и укоротить, если есть подо­зрение, что мы «перемахиваем через хребты» (разность кон­цевых уровней часто меняет знак); соображения аналогич­ного рода позволяют выбрать разумную величину «шаж­ков по склонам» и минимального учитываемого уклона (опять-таки чтобы не «зацикливаться в воронках», но и не «перебегать» слишком часто на «противоположный склон»).

Не вдаваясь здесь в поучительные свойства метода оврагов, отметим лишь, что он представляется очень характерным примером метода «моделирования», но только ни в малей­шей степени не претендующего на изоморфизм (да и на гомоморфизм!) «модели» «Миру», но и вообще настолько «непредвзятого», что в основе его лежит единственная «онтологическая» предпосылка: гипотеза о «хорошей ор­ганизации» этого самого Мира. И на познание Сущности элементов Мира претендовать здесь трудновато — какой уж тут гомоморфизм, когда мы даже внятно не можем ска­зать: гомоморфизм чему?!

5. Связное изложение концепции «инженерной математики, можно найти в книге — даром, что вся она по существу посвящена про­блеме образования понятий, столь благопо­лучно «решаемой» на уровне изоморфизма и гомоморфизма.

6. Скажем теперь коротко еще об одном факторе, вносящем некоторые коррективы в оценки общности приложимости основной концепции. Фактор этот связан с тем смыслом, в котором мы готовы условиться понимать сам термин «модель».

Если моделью, по определению, называть именно гомо­морфный образ «оригинала», то никаких дополнитель­ных корректив вообще не понадобится. Однако такие соглашения о заведомом неравноправии «оригиналов» и «моделей» часто бывают излишне обременительными (во всяком случае, мало естественными), в связи с чем зна­чительно более удобным может представиться с самого начала определять отношение «быть моделью» как отношение симметричное ( и рефлексив­ное, и транзитивное), в случаях надобности оговаривая не­обходимые для правильного понимания конкретного кон­текста ограничения (именно на такой интуитивной плат­форме мы стояли с самого начала настоящего изложения, хотя в дальнейшем несколько отошли от нее).

Приняв, однако, такую оговорку, мы неминуемо оказываемся (если не принять меры к против­ному) в явно противоречивой ситуации: с одной стороны, вся наша «эпистемологическая мораль» сводилась по су­ществу к обыгрыванию в угодных нам терминах теоремы о гомоморфизмах, утверждающей строгое неравно­правие «образа» и «прообраза», с другой же — мы хотим говорить о симметричном отношении. Чтобы раз­решить это противоречие, вспомним прежде всего общее определение модели как объекта бинарного симметричного отношения, а затем постараемся понять, какие оговорки придется (если вообще придется) сделать в связи с этим определением по поводу основной концепции.

Напоминаю, что два множества А и В с заданными на каждом из них наборами предикатов мы называли моделями друг друга (или говорили, что они (взаимно) моделируют друг друга), если найдутся такие два множе­ства А' и В' с определенными на них наборами предикатов и, что А' есть гомоморфный образ А (относитель­нои В' есть гомоморфный образ В (относитель­но иа А' и В' изоморфны между собой (относи­тельно и . Из этого определения сразу вытекает, что модели — это непре­менно однотипные алгебраические системы. Если такое условие покажется слишком стеснительным, можно перейти к более общему понятию модели, заменив (с соответствующими изме­нениями) в данном здесь определении термин «гомоморфизм» на «метаморфизм» или даже «параморфизм» (или же рассматри­вать сигнатуры как расширения предметных областей; ср. п.2.8, п. 2).

Но если модель теперь уже не просто гомоморфный об­раз оригинала, а некоторое «расширение» гомоморфного образа, то могут в принципе встретиться лишь два слу­чая: 1) элементы модели, не входящие в гомоморфный об­раз оригинала, устранимы (их удаление из модели приво­дит снова к системе, являющейся моделью исходной систе­мы) и 2) такие элементы являются принципиально не­устранимыми членами описания оригинала.

В первом случае (когда модель «избыточна») достаточно ввести понятие «приведенной модели», которая являлась бы уже гомоморфным образом оригинала и к которой, следовательно, утверждение теоремы о гомоморфизмах относилось бы в полной мере.

Что же касается второго случая, то здесь некоторые элементы модели не имеют прообразов в оригинале по существу дела. Типичный пример — «несобственные» («бесконечно удаленные») точки в проективных и тому по­добных моделях физического пространства, введение ко­торых в описание «моделируемой» системы преследует цель построения более компактного дедуктивного (или выразительного) аппарата: предложения, в которые вхо­дят имена «несобственных» (по терминологии Гильберта, изложению которого мы здесь в значительной мере следуем, «идеальных») элементов модели, не интерпрети­руются никакими «обстояниями» моделируемой области, но из этих предложений удается получить более экономич­ным путем «действительные» предложения (о «действи­тельных» элементах модели, которым соответствуют в ка­честве прообразов вполне реальные элементы оригинала). Для таких случаев «эпистемологическая» интерпретация теоремы о гомоморфизмах сохраняет силу, если в ее (интерпретации) формулировке вместо «модели» говорить лишь о «собственном ядре модели» (напрашивающийся термин «собственная подмодель» здесь не подходит: «собственное ядро», вообще говоря, не замкнуто относительно определенных для его элементов опе­раций), т. е. о

теоретико-множественной разности между моделью и множеством всех ее «несобственных» элементов. Здесь приходится считаться с тем обстоятельством, что в число «идеальных» попадают и некоторые важные метатеоремы, относя­щиеся к рассматриваемой теории (в случае проективной геометрии важным примером такого метаутверждения о системе в целом, связывающего «действительные» и «иде­альные» элементы «оригинала», является известный прин­цип двойственности). (Ради простоты и общности формулировки которого и были, как известно, введены в проективную геометрию «несобствен­ные» элементы (и соответственно расширена аксиоматика).)

Всеми этими оговорками применимость теоремы о го­моморфизмах к моделям с «несобственными» элементами, конечно, обесценивается. Но если пожертвовать чисто формальным изяществом и превратить «собственное ядро» в «частичную модель», считая все определенные на нем операции просто не определенными для тех наборов ар­гументов, результаты которых «несобственны», то к такой «частичной собственной модели» в значительной мере будет относимо все сказанное выше про обычные «го­моморфные» модели.

2.17. Соотношение рассмотренной схемы с другими концепциями

1. Решающую роль в формировании концепции сыграла идея структурного изоморфизма самой различной природы воспринятая, в частности, из работ . Впоследствии автор концепции смог убедиться, насколько «созвучными» призывам этих работ оказались констатации Винера, говорившего как о чем-то само собой разумеющемся, что «идея программирования на фабрике уже была известна благодаря работам Тейлора и Фрэнка и Лилиан Гилбертов по хронометражу, и она созрела для того, чтобы ее применили к машине; эта про­блема вызывала значительные трудности в деталях, одна­ко больших трудностей в принципе не было». Как это похоже и на «формальный аналиа документов» у Гастева, и особенно на его программу «социальной инженерии» (HOT), где, в частности, он говорит, что «если бы не родился Тейлор с его хронометражем и раз­ложением на элементы,— его надо было бы родить «по заказу...». Объективность требует напомнить, что очень близкие мысли можно найти и у : «Структурные отношения могут быть обобщены до такой же степени формальной чистоты схемы, как в математике отношения величин». Родственные идеи имеются также во многих работах по так называемым системным исследованиям, системному подходу, общей теории систем и т. п..