Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 97 )

представляющую собой математический аналог полной энер­гии осциллятора. Тогда

(2)

(последнее равенство вытекает из уравнения (1), а нера­венство — из свойств функции g). Значит, функция убывающая (хотя бы в слабом смысле), а так как то E(t) имеет конечный предел при Но тогда по нашему допущению при Отсюда из выражения (2) получаем, что и в этом процессе.

Значит, по нашему допущению и при Но тогда из уравнения (1) получаем, чтоа потому и х → 0 при , что и требовалось доказать. Как видим, в процессе доказательства мы нигде не пользовались ни точным, ни приближенным выражением для решения х(t) .

Аналитические методы направлены в основном на пос­троение точных или асимптотических формул для решений и изучение свойств решений с помощью этих формул. Точные формулы могут либо охватывать совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения (тогда говорят о его общем решении), либо представлять отдельные, частные решения, удовлетворяющие определенным свойст­вам: удовлетворяющие заданным начальным или гранич­ным условиям, стационарные, периодические, автомодель­ные (п. 3.7) и т. д. Так, для уравнения (1 п. 3.7.2) вынужденных колебаний мы искали частное решение вида (2 п. 3.7.2) — наибо­лее интересное решение, описывающее единственное в дан­ных условиях установившееся движение.

Решение, построенное аналитически, может иметь вид либо конечной формулы, либо суммы бесконечного ряда, либо интеграла. Такая форма решения может оказаться особенно полезной, если задача содержит параметры и нас интересует зависимость решения от них, либо если требуется выяснить поведение решения, когда время или координаты стремятся к бесконечности (и потому применение численных методов не очень удобно). В последнем случае, а также если параметры задачи стремятся к нулю, либо к бесконечности, от точных формул обычно переходят к асимптотическим формулам, дающим приближенное предоставление решения (говорят также — дающим асимптотическое решение), справедливое с точностью до членов, малых по сравнению с выписанными. Впрочем, асимптотические формулы чаще получают не из формул для точного решения, а с помощью действий над исходным уравнением (см. последний пример п. 3.7.3, а также п. 3.7.2).

Приведем простой пример исследования точного решения. Из соотношений (1 п. 3.7.2) и (2 п. 3.7.2) вытекает формула для амплитуды вынужденных гармонических колебаний:

(3)

Пусть параметры фиксированы, а ω произвольно. При каком значении ω эта амплитуда максимальна, т. е. на какой частоте осциллятор возбуждается сильнее всего? Для ответа вычислим производную

Мы видим, что если трение велико, точнее, если то при всех и потому максимум |В| достигается при т. е. при статическом воздействии. Если жето при росте ω, начиная с значение |В| сначала растет, достигает максимума («квазирезонанс») при равного

В частности, при с помощью следствия из формулы Тейлора получаем асимптотические формулы

(~ означает асимптотическое равенство). При и зафиксированных прочих параметрах из (3) получаем асим­птотическую формулу

а при — асимптотическую формулу

Эти асимптотические формулы наглядно описывают за­висимость при близких к экстремальным значениях параметров.

По поводу численных (приближенных) методов решения задач математического анализа мы уже говорили ранее — в частности, о грубом подразделении этих методов на непрерывные и дискретные. Отметим, что между этими двумя типами методов нет резкой грани. Так, непрерывные методы часто сопровождаются вычислением интегралов, ко­торое осуществляется с помощью перехода к узловым значениям участвующих функций. Подавляю­щее большинство современных численных методов ориен­тировано на применение ЭВМ.

Применение дискретного численного метода к решению дифференциального уравнения по существу означает, что из-за чисто вычислительных соображений мы заменяем ис­ходную непрерывную математическую модель на новую, дискретную.

Отметим в заключение, что мы описывали здесь тра­диционные математические методы построения решений. Однако при решении прикладных математических задач эти традиционные методы могут сочетаться с действиями нема­тематического характера — физическими измерениями, на­блюдениями и т. п. Это относится не только к получению исходных параметров и зависимостей, но в некоторых слу­чаях и к промежуточным этапам исследования, если какие-либо из появляющихся величин и функций сравнительно несложно получить эмпирически, хотя в принципе их можно было бы найти и средствами математики.

3.8.3. Асимптотические разложения

Асимптотические раз­ложения заданных и искомых функций широко распростра­нены при применении аналитических методов построения решения. Обычно это — разложения по целым (иногда це­лым и полуцелым) положительным или отрицательным степеням независимой переменной либо параметра, вхо­дящего в уравнение. Такие разложения используются как для вычисления значений решения, так и для исследова­ния его поведения; в частности, асимптотические форму­лы, о которых говорилось в п. 3.8.2, обычно получаются, если в асимптотическом разложении оставить 1 — 2 первых члена.

Будем здесь рассматривать разложение решения по сте­пеням независимой переменной. При разложении вблизи конечного значения по положительным степеням часто применяются формула Тейлора или метод неопреде­ленных коэффициентов. Приведем простой пример: пусть мы хотим получить разложение решения задачи Коши

(1)

по степеням t. Для этого воспользуемся формулой Тейлора

(2)

где индекс нуль означает подстановку значенияИз начального условия и уравнения (1) имеем

Дифференцируя обе части уравнения (1) по t, получаем

откуда, подставляя значение t =0, находим последова­тельно

Подставляя эти значения в формулу (2), приходим к разложению

(3)

При желании его нетрудно продолжить. Им удобно поль­зоваться при сравнительно малых например, при При дальнейшем увеличении t уравнение надо решать численно с помощью какого-либо из дискретных методов. При некотором значении происходит обострение решения — оно обращается в бесконечность. Это обнаруживается по переполнению ячеек памяти ЭВМ; чтобы найти значение Т, можно также, сделав в задаче (1) замену подсчитать, при каком зна­чении t функция y(t) перейдет через значение