Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 98 )

Разложение (3) можно получить также по методу неопределенных коэффициентов. Для этого надо подставить выражение

в уравнение и начальное условие (1) и, раскрыв скобки, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях t. Мы предоставляем читателю проделать соответствующие вы­числения.

Асимптотические разложения при обычно имеют вид

(4)

где g — некоторая известная функция, а ряд, стоящий в скобках, вообще говоря, сходится асимптотически. Пос­леднее означает, что для каждого при всех достаточно больших t имеет место неравенство

(постоянная в правой части зависит от п). При этом не требуется, чтобы ряд был сходящимся в обычном смысле, а если он сходится, то чтобы его сумма, умноженная на равнялась x(t); поэтому в формуле (4) применен не знак «=», а знак «~» (который, правда, в математическом анализе применяется и в другом смысле). Тем не менее, оставляя у ряда лишь конечное число первых членов, мы получаем асимптотические формулы для x(t), тем более точные при больших t, чем больше членов взято. На прак­тике обычно принимают, что погрешность получающейся приближенной формулы близка к первому из отброшенных членов ряда, хотя теоретически это не всегда так.

Приведем в качестве примера асимптотическое разло­жение так называемой функции ошибок:

появляющейся во многих приложениях математики. Для этого проведем интегрирование по частям:

откуда

Повторение этой процедуры, которое мы предоставляем читателю, приводит к равенствам:

(5)

С помощью правила Лопиталя нетрудно проверить, что последнее слагаемое внутри скобок при имеет порядок очередной отрицательной степени х; например,

Таким образом, в пределе из (5) получается асимптотиче­ское разложение

(6)

Применяя признак Даламбера сходимости рядов, легко про­верить, что полученный ряд расходится для всех х. Однако это не мешает применению формулы (6) как для полу­чения асимптотических формул для erf x (например,

так и для вычисления значений этой функции. Отметим, кстати, что, как это следует из равенств (5), обрывая ряд в (6) все дальше и дальше, мы получаем в правой части значения попеременно то большие, то меньшие левой части. Например, при х=2,5 частичные суммы ряда последова­тельно равны 0,4; 0,368; 0,37568; 0,372608; 0,3743283; 0,3730897; 0,3741796; 0,3730462; 0,3744062... Мы видим, что эти суммы сначала как бы сходятся, но потом разбалты­ваются, и чем дальше, тем разбалтывание сильнее. Для последовательных пар из приведенных значений наиболее близки друг к другу 6-е и 7-е; руководствуясь ими, получаем значение 0,3736 ± 0,006, что приводит к результату

с погрешностью, меньшей единицы последнего разряда.

Приведем еще один полезный пример. Пусть нас инте­ресует ненулевое решение линейного дифференциального уравнения

(7)

ограниченное при Записав разложение при

можно с помощью метода неопределенных коэффициентов построить разложения двух линейно независимых решений уравнения (7):

(8)

что мы предоставляем сделать читателю. Общее решение уравнения (7) имеет вид

(9)

где — произвольные постоянные. С другой стороны, из разложения при

(10)

мы видим, что при больших t уравнение (7) близко к уравнению

которое имеет линейно независимые решения Это дает основание для того, чтобы искать асимптотическое разложение решения, ограниченного при в форме

Подстановка этого разложения в уравнение (10) с учетом формулы (10) и приравнивание коэффициентов при одина­ковых степенях t приводит к разложению искомого решения (проверьте!)

(11)

Коэффициент а0 остался произвольным, и так как реше­ние определено с точностью до произвольного постоянно­го множителя, будем считать, что Отметим, что полученный ряд сходится к решению лишь асимптотически, так что более правильно в (11) писать знак ~.

Построенному решению х(t) соответствуют вполне опре­деленные значения C1 и С2 в формуле (9), т. е. вполне определенное асимптотическое разложение при t=0. Та­ким образом, возникает задача «склеивания» («сшивания») асимптотических разложений при Задача склеивания иногда решается точно, однако чаще, как и в данном случае, ее приходится решать с помощью числен­ного интегрирования. Для этого можно, исходя из раз­ложений (8) и (11) и численно интегрируя урав­нение (7), продолжать решения в поло­жительном направлении, а х(t) — в отрицательном нап­равлении оси t, пока все они не попадут на общий интер­вал оси t. После этого найти коэффициенты C1, С2 не составляет труда.

3.8.4. Интегральные представления решений

Здесь мы опи­шем некоторые методы интегрального представления ре­шений, специфические для линейных моделей. Напомним, что линейную модель можно трактовать как оператор, преобразующий входы в выходы, для которого справедлив прицип суперпозиции. Рассматриваемые методы дают возможность, зная выходы для того или иного доста­точно полного стандартного набора входов простого вида, получить формулу для выхода при произвольном входе. Эти методы широко применяются для построения и исследования решений.

Остановимся сначала на методе применения так называ­емых функций Грина. Его общая схема такова. Будем для определенности считать, что входами служат функ­ции f(x), заданные на фиксированном интервале а выходами — функции того же или другого аргумента, тоже заданные на некотором фиксированном интервале, или даже просто числа. Пусть входом служит сдвинутая дельта-функция, где обозначим соответствующий выход — это и есть функция Грина в рассматриваемой задаче. Тогда, представив про­извольный вход f(x) как результат наложения беско­нечно малых слагаемых (см. формулу Д. 15)) и применяя принцип суперпозиции, получаем соот­ветствующий выход:

Рассмотрим в качестве примера задачу (3 п.3.4.2), в которой д(х) является входом, а у(х) — выходом, причем обе функ­ции определены при Соответствующая функция Грина является решением краевой задачи

(1)

таким образом, это функция двух переменных х и ξ, т. е.

Говорят также, что это функция двух точек: тонки воздействия ξ (в которой прилагается единичная нагрузка) и точки наблюдения х (в которой измеряется прогиб). Поэтому функцию Грина называют также функцией влияния: она описывает, как влияет нагрузка, приложенная к какой-либо точке стержня, на его прогиб в любой дру­гой точке.