Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 61 )

Его решение назовем приближением x1 решения уравнения (3), т. е.

Затем то же проделаем с x1 и т. д. Общая формула для построения последовательных приближений по методу Нью­тона такова:

(4)

Сравнение с уравнением (Д.28) показывает, что метод Ньютона состоит в применении метода итераций к урав­нению (3), переписанному в равносильной форме:

Почему полезна именно такая форма? Для ответа, обозначив правую частьвычислим производную:

Таким образом, для точного решенияуравнения (17) получаем при что А это, в силу п. 4 Добавления, означает, что если только х0 не слишком далеко от то метод Ньютона сходится со сверхгеометрической скоростью. (Если что бывает весьма редко, то метод сходится со скоростью геометрической прогрессии.)

В качестве примера рассмотрим то же уравнение (Д. 29), что и в п. 4 Добавления. Здесь формула (4) приобретает вид

Начав с x0=0, при вычислениях с точностью до 10-6 получаем (проверьте!). Таким образом, сходимость получилась существенно более быстрая, чем в п. 4 Добавления. Расхождение в последней значащей цифре с п. 4 Добавления объясняется округлениями при вычис­лениях.

Покажем еще, как применяется метод Ньютона к системе конечных уравнений на примере системы двух уравнений общего вида

(5)

Пусть мы уже имеем некоторое приближение Чтобы перейти к следующему приближению, раз­ложим функции f u g около значений в ряды Тейлора и отбросим в разложениях все нелинейные члены. Тогда взамен (5) мы получим систему уравнений первой степени

где обозначено и т. д. Решение этой системы и принимается за т. е. последующее приближение определяется из простой системы уравнений

Таким образом, исходя из нулевого приближения мы можем, положив п = 0, найти первое при­ближение и т. д. Из последней системы сразу видно также, что если последовательные приближения схо­дятся при то в пределе получается одно из решений системы (5). На практике обычно факт сходимости или расходимости распознается легко, так как сходимость в методе Ньютона, если она имеет место, происходит с весьма высокой скоростью.

Метод Ньютона распространяется и на нелинейные урав­нения других типов, в частности на краевые задачи для нелинейных дифференциальных уравнений, путем сведения их к последовательному решению линейных задач.

Имеются и другие способы линеаризации уравнений и моделей.

3.4. 5. Детерминированные и вероятностные модели. Другие типы моделей

Математическая модель может включать случайные компоненты — случайные скалярные или вектор­ные величины, случайные последовательности или функции, случайные структуры и т. п., удовлетворяющие статисти­ческим законам. Такие модели называются вероятност­ными или стохастическими, в отличие от детермини­рованных моделей, которые таких компонентов не содер­жат. Так, если какой-либо элемент изучаемого объекта является изделием массового производства и на интересу­ющие нас свойства могут заметно повлиять отклонения параметров от их номинальных значений, то эти параметры часто считают случайными величинами. Случайные функ­ции появляются, например, при рассмотрении воздействия ветра на какие-либо сооружения, сигналов на фоне шума, шероховатых поверхностей, турбулентных движений жид­кости и т. д.

Вероятностные модели изучаются с помощью методов теории вероятностей. К сожалению, довольно часто бывает, что вероятностные характеристики случайных компонентов (математические ожидания и дисперсии случайных величин, тем более законы распределения последних, а также ана­логичные характеристики случайных функций) оказывают­ся известными с весьма невысокой точностью или даже вовсе неизвестными, т. е. модель не удовлетворяет требованию продуктивности. Методы математической ста­тистики направлены на определение таких характеристик, но и эти методы не всегда удается эффективно применить. Поэтому при построении вероятностных моделей надо уде­лять существенное внимание источнику таких характе­ристик. Если они не поддаются определению с необходимой точностью, то можно попытаться поискать другую модель, быть может более грубую, но и более устойчивую от­носительно пробелов в знании исходных данных. Например, иногда удается провести исследование и вычисления по максимальным отклонениям рассматриваемых параметров.

Приведем пример. Пусть х — решение задачи Коши

где а — случайная функция (переменная ω, как это принято в теории вероятностей, имеет смысл элементарного исхода). Тогда и — случайная функция, характеристики которой существенно зависят от характеристик функции а. Но пусть не представляется возможным детально узнать характеристики функции а, известно только, что всегда Тогда, подставляя крайние возможные значения, мы получаем гарантированную оценку решения: из нее, например, следует, что с экспоненциальной скоростью при

Применяется классификация моделей и по другим приз­накам. Так, различают статические и динамические (эволюционные) модели; для второго типа моделей предметом изучения является изменение рассматриваемого объекта во времени. Промежуточное место занимают квазистатические, стационарные и квазистационарные модели. В квазистатической модели принимается, что изменение объ­екта происходит столь медленно, что при рассмотрении ситуации в каждый момент можно в первом приближении объект считать статическим (грубо говоря, пренебречь инер­ционными силами), а время считать добавочным парамет­ром. В стационарной модели считается, что процессы про­исходят, но изучаемый объект во времени не меняется; простейший пример — электрическая цепь с постоянным током. Естественно определяется и квазистационарная модель.

В связи с перечисленными сейчас типами моделей упо­мянем еще о применяемых здесь терминах: установившимся процессом обычно называют стационарный или периоди­ческий процесс; переходным процессом называют процесс перехода от одного статического состояния или установивше­гося процесса к другому.

3.5. Модули, альбомы и многообразия математических моделей

3.5.1. Модули и альбомы математических моделей

В этой разделе k — поле, полное относительно нетри­виального абсолютного значения.

Пусть Х — топологическое пространство математических моделей. Модулем математической модели ( в дальнейшем – модулем) с пространства X назывем тройку где

(1) U — открытое подмножество в X,

(2) п — целое неотрицательное число,

(3) φ —отображение U в kп, причем множество φ(U) открыто в kп и отображение — гомео­морфизм.

Обозначения:

U = О (с) ~ открытое множество модуля с;

φ = М (с) — отображение модуля с;

— размерность модуля с.

Пусть заданы два модуля и