Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 125 )

Величина может быть распределена не по объему, а по поверхности (плоской или кривой) или по линии. В этом случае все рассуждения остаются в силе, если под (Ω) понимать часть поверхности или линии, а под Ω — соответ­ственно площадь или длину этой части.

Вернемся к примеру массы, распределенной в простран­стве. Если среда движется, то важную роль играет вектор потока массы («массовой скорости») ρv, где v — вектор мгновенной скорости среды в рассматриваемой точке; этот вектор является локальной характеристикой направления и интенсивности переноса массы. Его поток через воображае­мую поверхность (S) (впрочем, говорят не «поток потока массы», а просто — поток массы), т. е. интеграл

равен массе, переносимой через (S) за единицу временив направлении изнутри наружу. Аналогично вводится поток других распределенных величин.

7. Сплайны. При интерполяции и вообще при прибли­женном представлении функций формулами широко применяются так называемые сплайны. Пусть речь идет о представлении функции на интервале [а, b]. Разобьем его на п частей с помощью точек (Д.21). Сплайном (точнее, полиномиальным сплайном, так как бывают и другие) сте­пени k(= 1, 2, 3, ...), отвечающим этому разбиению, назы­вается функция, заданная на [а, b], имеющая там непре­рывные производные k-1-го порядка и на каждом интер­вале [xj-1, xj] совпадающая с некоторым многочленом сте­пени не выше k. В частности, сплайн 1-й степени — это непрерывная на [а, b] функция, линейная на каждом интер­вале В приложениях наиболее распростра­нены сплайны 3-й степени; если Р(х) — такой сплайн, то в точках смены формулы для Р(х) значения Р, Р' и Р" остаются непрерывными, тогда как Р'", вообще говоря, испытывает скачок. Каждый такой сплайн можно записать и притом единственным образом в виде

Сохранение «гладкости» в точках смены формул при­водит к тому, что сплайны осуществляют в целом лучшее приближение функций, чем «классические» интерполяци­онные формулы. Однако при построении сплайна для сколько-нибудь большого п вычисления довольно объемны, хотя и легко программируются, а потому требуют привле­чения ЭВМ.

Если решается задача интерполяции с помощью сплайна 3-й степени, т. е. требуется построить такой сплайн по условиям

то, так как формула (Д.31) включает п + 3 параметра, для однозначного выбора сплайна требуется указать еще два условия типа равенств. Например, можно задать значе­ния Р'(а) и Р'(b). Тогда, переходя от Р(х) к функции , можно считать, что у0 =0 и Р' (а) = 0, а потому в формуле (Д.31) надо положить а0 = а1 = 0.

Рассмотрим пример. Пусть на интерваленадо построить сплайн 3-й степени по условиям

Применение формулы (Д.31) приводит к системе уравнений

Ее решение по методу Гаусса дает значения

Таким образом, искомый сплайн можно выразить фор­мулами

Мы видим, в частности, что максимальное значение Ртax = 1,1894 достигается при х = 1,4515.

Обращаем внимание на важную особенность сплайн-интерполяции: изменение хотя бы одного значения в исход­ных данных влечет за собой изменение всех коэффициентов интерполирующего сплайна, т. е. полный пересчет этих коэффициентов, хотя они и обладают свойством робастности.

Литература

К разделу 1

1. , Электрические модели, М. - Л., 1949; 2. , Теория подобия, М., 1953; 3. , О некоторых общих вопросах кибернетики, в кн.: Проблемы кибернетики, в. 1, М., 1958; 4. , Познавательное значение модельных представлений в физике, Тарту, 1963; 5. , Гносеологическая природа информационного моделирования, "Вопросы философии", 1963, № 10; 6. , О моделировании сложных систем, М., 1965; 7. , Теория подобия и моделирование применительно к задачам электроэнергетики, М., 1966; 8. , Моделирование и философия, М. - Л., 1966; , Гельман О, Я., Моделирование в науке и технике, М., 1966; 9. , О гносеологических аспектах моделирования, в кн.: Логика и методология науки, М., 1967; 10. , Моделирование сложных систем, М., 1968; 11. , Математическое моделирование в научном познании, М., 1969; Проблемы кибернетики, М., 1969; 12. , Логические основы метода моделирования, М., 1971; 13. , Теория эксперимента, М., 1971; 14. , , Кибернетика в гуманитарных науках, М., 1973. 15. Кочергин мышления. М.: «Наука», 1969. 16. Фролов проблемы моделирования. М.: «Наука», 1961. 17. Батороев и метод аналогий. М.: «Высшая школа», 1974. 18. Кибернетика и управление производством. М.: «Наука», 1965. 8. Эксперимент. Модель. Теория. М. - Берлин: «Наука», 1982. 19. Седов подобия и размерности в механике. М.: «ГИТТЛ», 1957. 20. Штофф в методологию научного познания. Изд. Ленинградского ун-та, 1972.

К разделу 2

1., . Изоморфизм и гомоморфизм как логико-гно­сеологические категории. Диссертация. М., 1971.

2. G. Frey. The use of concepts «Isomorphic» and «Homomorphic» in epistemology and the theory of science.—«Ratio», 1969, vol. 11, № 1.

3. . Введение в марксистскую гносеологию. Киев, 1966.

4. . О природе образа. М., 1963.

5. . Теория отражения в свете современной науки. М., 1971.

6. . Отображение в неживой природе. М., 1969.

7. . Самоуправляемые системы и причинность. М., 1972.

8. . Психические явления и мозг. Философ­ский анализ проблемы в связи с некоторыми актуальными

задачами нейрофизиологии, психологии и кибернетики. М., 1971.

9. К. Godel. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I.—«Monatsh. Math. Phys.», 1931, Vol. 38.

10. С. К. К лини. Введение в метаматематику. М., 1957.

11. А. Гейтин-г. Интуиционизм. Введение. М., 1965.

12. . Теория алгорифмов. М.— Л., 1954.

13. A. S. Esenin-Volpin, The ultra-intuitionistic critizism and the antitraditional program for foundations of mathematics.— In: Intuitionism and proof-theory, A. Kino, J. Myhill and R. E. Vesley. Amsterdam, 1970.

14. W. V. 0. Quine. Semantics and abstract objects.— «Proc. Amer. Acad. Arts and Sciences», 1951, vol. 80, № 1.

15. . Анатомия научного знания. М., 1969. 16. и , Кибернетика в гуманитарных науках. М., 1973. |

17. . От «социальной инженерии» к кибернетике.— В кн.: [82].

18. . Аналогия в практике научного исследования. М., 1970.

19. . Изоморфизм.— Философская энциклопедия, т. 2. М., 1962.

20. Ю, А. Шрейдер. Наука — источник знаний и суеверий.—«Но­вый мир», 1969, № 10.

21. Л. Витгенштейн. Логико-философский трактат. М., 1958.

22. Дж. У. Бэкус, и др. Алгоритмический язык АЛГОЛ-60. Пересмотренное сообщение. М., 1965.

23. . Метаалгоритмический язык.—«Кибернетика», 1968, № 4.

24. И. X. Шмаин. Расширенное исчисление рекурсивных фуьк-ций. I.— В кн.: Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М., 1974.

25. , Кибернетика и умственный труд. М., 1965.

26. Р. Карнап. Значение и необходимость. М., 1959.

27. , . Логическая истинность.— Фило­софская энциклопедия, т. 3. М., 1964.

28. Дж. Миллер, Ю. Галантер и К. Прибрал. Планы и структура поведения. М., 1965.

29. И. И. Ревзин. Модели языка. Мм 1967.

30. Н. Хомский. Объяснительные модели в лингвистике.— В кн.: Математическая логика и ее применения. М., 1965.

31. Н. Хомский. Аспекты теории синтаксиса. М., 1972.

32. Чжао Юанъ-женъ. Модели в лингвистике и модели вообще.— В кн.: Математическая логика и ее применения. М., 1965.

33. . Опыт теории лингвистических моделей «Смысл <& Текст». М., 1974.

34. . О понятии «математическая модель языка». М., 1971.

35. . Структурная лингвистика. М., 1965.

36. . О видах сложности предложений.— «Научно-техническая информация», сер. 2, 1967, №11.

37. , . Элементы математической линг­вистики. М., 1973.

38. , и . О принципиальном использовании смысла при машинном переводе. — «Машинный перевод. Труды Института точной механики и вычислительной техники АН СССР», вып. 2. М., 1961.

39. , . О возможном методе и инструментах семантического синтеза.—«Научно-техническая информация», 1965, № 6.

40. . Вероятностная модель языка. О соотношении естественных и искусственных языков. М., 1974.