Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 95 )

(3)

Проведя осреднение обеих его частей, приходим к урав­нению

(4)

(При этом мы учли, что производная функции, имеющей нулевое среднее значение, также обладает этим свойством.) Вычитая почленно (4) из (3), имеем уравнение

(5)

При дифференцировании у быстро колеблющейся фун­кции появляется член с множителем ω. Поэтому при боль­шом ω и малом α в обеих частях уравнения (5) главными являются первые слагаемые и в первом приближении мы можем написать

Так как v сейчас заморожено, получаем выражение для быстрой составляющей решения:

Подставив это выражение в (4), приходим окончательно к уравнению для главной составляющей решения:

(6)

Мы видим, что вибрация точки подвеса привела как бы к появлению добавочного крутящего момента

изменяющегося с «нормальной» скоростью. Это может при­вести к качественному изменению характера колебаний маятника даже без учета присутствия в них вибрационной составляющей α. Прежде всего, возможные положения его равновесия определяются приравниванием нулю третьего члена в левой части уравнения (6). Значит, при

(7)

кроме очевидных положений равновесия возникают еще два положения:

С помощью стандартного метода линеаризации можно вы­яснить устойчивость этих положений, что мы предоставля­ем читателю. Оказывается, что положение φ=0 устойчи­во при любом ω. Положение же неустойчиво при но если выполнено условие (7), это поло­жение становится устойчивым, тогда как вновь возникшие положения равновесия неустойчивы. Таким обра­зом, если вибрация точки подвеса достаточно интенсивна (выполнено условие (7)), то «обратное» положение маят­ника, когда груз расположен над точкой подвеса, становится устойчивым и маятник, отклоненный от этого положения в интервал от до вновь стремится стать вертикально кверху. Более того, чем больше аω, тем труднее вывести маятник из верхнего положения, как, впрочем, и из нижнего.

Все эти результаты было бы трудно предвидеть, даже в качественном отношении, без проведения выкладок. Их можно подтвердить экспериментом, который производит на неподготовленного зрителя глубокое впечатление.

3.7.6. Анализ влияния упрощений

Упрощенные матема­тические модели, упрощенные формулы обладают целым рядом очевидных преимуществ. Однако довольно часто бы­вает неясно, можно ли применять данную упрощенную модель или формулу в той или иной ситуации. Чтобы выяснить границы применимости упрощенного метода, можно провести контрольное сравнение получающегося решения с более точным.

Приведем несколько примеров. Пусть для системы, изоб­раженной на рис. 1 п.3.7.3, мы собираемся пользоваться формулой (5 п.3.7.3); насколько малым для этого должен быть коэф­фициент трения f? Ответ зависит от допустимой погреш­ности. Пусть, например, нас устраивает погрешность, не превышающая Примем (так часто бывает при применении метода малого параметра и в других «классических» случаях хорошо сходящихся последовательных приближе­ний), что каждое приближение отличается от точного ре­шения примерно на столько же, на сколько и от последую­щего приближения. Отсюда, сравнивая формулы (5 п.3.7.3) и (6 п.3.7.3), мы видим, что устраивающая нас погрешность фор­мулы (5 п.3.7.3) получится при

Еще один пример. Рассмотрим уравнение (1 п.3.1.3) свободных колебаний осциллятора. Мы уже говорили, что если нас интересует частота колебаний, а трение малó, то мы можем упростить уравнение, заменив его на (1 п.3.1.1). При каком значении коэффициента f это можно сделать? Частоты, подсчитанные для уравнения (1 п.3.1.1) и для более полного уравнения (1 п.3.1.3), равны соответственно

Если мы хотим, чтобы эти частоты различались не более чем на 5 %, то должно быть

Это и есть в данной задаче условие малости трения. (Отметим, что более точное значение коэффициента в пра­вой части равно 0,624; но в таком полукачественном воп­росе «какое трение можно, а какое нельзя считать ма­лым?» вряд ли целесообразно ответ приводить с высокой точностью.)

В качестве третьего примера рассмотрим колебания ме­ханического осциллятора без трения, возникающие в резуль­тате приложения к нему постоянной силы F0. Пусть т — масса осциллятора, а ω0 — частота свободных колебаний. Непосредственное интегрирование уравнения

(8)

при нулевых начальных условиях даст решение

(9)

При выводе этой формулы было принято упрощающее предположение, что внешняя сила принимает значение F0 мгновенно Но реально это, конечно, не так и естественно поставить вопрос, можно ли пользоваться формулой (9), если внешняя сила возрастает с конечной скоростью Для ответа на этот вопрос примем в качестве типичного вариан­та, что внешняя сила возрастает по линейному закону от значения F = 0 при t = 0 до при некотором после чего остается равной F0 . Тогда при в правой части уравнения (8) F0 надо заменить наинтегрирование полученного уравнения при нулевых началь­ных условиях дает

(10)

Прикогда внешняя сила уже не меняется, надо решать уравнение (8) при начальных условиях, опреде­ляемых из (10), т е

Решение, которое мы предоставляем читателю, приводит к формуле

(11)

Таким образом, по сравнению с формулой (9) мы получаем поправку как в амплитуде, так и в фазе колебаний Примем, что применение упрощенной зависимости (9) допустимо, если подсчитанная по ней амплитуда колебаний отличается от результата, который дает уточненная форму­ла (11), не более чем на 5 % . Тогда мы получаем, что должно быть откуда с помощью таблиц находим, что т. е. . Обозначив период свободных колебаний, получаем, что дол­жно быть Другими словами, длитель­ность этапа нарастания силы должна быть меньше периода свободных колебаний по крайней мере в шесть раз. Это и есть условие применимости упрощенной формулы (9) при принятом уровне допустимой погрешности.

Четвертый пример аналогичен третьему. Пусть внешняя сила F0, действующая на тот же осциллятор, возрастает, но меняется достаточно медленно, начиная со значения Тогда в упрощенной модели можно процесс считать квазистатическим, т. е. в уравнении (38) отбросить первый, инерционный член, откуда получаем очевидную формулу:

— отклонение осциллятора пропорционально действующей силе. Но насколько медленным должно быть нарастание силы, чтобы можно было процесс действительно считать квазистатическим?

Для ответа на этот вопрос примем, что сила нарастает по линейному закону за некоторое время τ, после чего остается постоянной, а процесс можно считать квазиста­тическим, если при осциллятор отклоняется от рав­новесного положения не более чем на 5 %. Тогда в силу формулы (11) получаем, что должно быть откуда т. е. Это и есть условие квазистатичности в данной задаче.