Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 40 )

Конечно, при допущении о равновероятности возмож­ных «объяснений» (даже если одно из них, как в данном примере, состоит в отказе от претензии на объяснение), к которому нас обязывает непредвзятый подход к данным опыта, формула Байеса даст для вероятности закона Ома то же значение, которое мы получили бы из непосредствен­ного применения классического определения вероятности (т. е. считая вероятности обеих возможных в принципе «гипотез» — «пропорциональности» и «отсутствия пропор­циональности» — равными

Представим себе, однако, что мы затем провели еще пять измерений и получили такие же результаты. Теперь уже формула Байеса позволяет нам не просто рассматри­вать серию из десяти опытов (истолкование которой при­вело бы, очевидно, к тому же значению искомой вероят­ности а ввести новые «априорные» ( термином этим именуются не вероятности, вообще не зависящие от опыта, но лишь такие, значения кото­рых принимаются за известные до начала данного опыта) вероятности подтверждения и неподтверждения закона Ома: соответст­венноТогда «уточненное» значение нашей основ­ной гипотезы, согласно той же формуле Байеса, окажется уже равным

Аналогично, третья серия опытов с теми же исходны­ми приведет нас уже к значению 256/257.

Что же касается «конкурирующей ситуации», которая могла бы возникнуть в связи с предыдущим обсуждением вопроса о том, эпистемологическая интерпретация какого из упомянутых предложений более достойна носить ти­тул «Основной теоремы», то эта проблема разрешается сравнительно просто. Как отмечалось раньше, нас будет интересовать сейчас не столь­ко процесс познания в целом, сколько некоторые «чисто, технические» аспекты этого процесса, связанные с взаимо­действием Мира и «отражающего» его сознания. Точнее говоря, нас интересует здесь даже не сам этот процесс, а непосредственно предшествующие ему (и следующие за ним) чисто умозрительные конструкции, имеющие дело не с Миром как таковым, а лишь с некоторыми его (гомоморфными?) заместителями.

В соответствии с этим индуктивные построения, «об­служивающие» такие «глубинные» аспекты познания, вообще не являются предметом нашего внимания, а тем более — исследования. Но именно для этого «индуктив­ного аспекта» изучения познания Основной теоремой служит формула Байеса. Еще лучше было бы сказать, что сам этот аспект дедуктивен (во всяком случае, высту­пает в качестве такового); индуктивно же лишь то, о чем он трактует. Мы же здесь анализируем как раз тот «де­дуктивно-подобный» фрагмент теории структурных за­кономерностей, для которого теорема о гомоморфизмах служит Основной теоремой.

Что же касается возможности сформулировать «Ос­новную теорему» применительно к познанию в целом, то она более чем сомнительна, равно как и принципиаль­ная формализуемость диалектики отображения бытия сознанием.

2.13. Последующие обобщения

Вернемся теперь к теореме о гомомор­физмах. Точнее, к ее аналогам и (гипотетическим) обоб­щениям.

Сама по себе возможность перенесения теоремы о го­моморфизмах на случаи, в связи с которыми выше (в п. п. 2.6 и 2.7) были введены понятия метаморфизма и параморфизма, сомнений не вызывает. Не будем, впрочем, пытаться формулировать здесь соответствующие «теоремы о мета­морфизмах» (и о «параморфизмах»), дабы не затемнять чрезвычайно ясную общую идею соответствующих «фак­торизации» не идущими к делу техническими подробнос­тями. Отметим лишь, что задаче обобщения теоремы о гомоморфизмах можно придать несколько другую форму, перейдя от рассмотрения алгебраических систем, описываемых на языке узкого исчисления предикатов, к теориям высших ступеней, сигнатуры которых включают предикаты различных типов. Для таких систем само понятие гомоморфизма приходится формулировать в бо­лее общей форме, заведомо перекрывающей описанное выше понятие метаморфизма. Это обстоятельство, с одной стороны, и известный результат о возможности «кодирования» теорий высших ступеней на языке узкого исчисления предикатов (быть может, за счет некоторого расширения сигнатуры, с другой — делают достаточно прозрач­ной идею этих обобщений.

Что же касается перехода от многоместных предикатов к предикатам с меньшим числом аргументных мест, лежа­щего в основе второго из упомянутых в п. п. 2.8 и 2.9 возмож­ных обобщений понятия гомоморфизма, то, например, при­мененная в работах несложная техника «коди­рования» п-местных предикатов одноместными предика­тами от гёделевских номеров соответствующих п-ок аргументов (во всяком случае, для теорий, содержащих арифметические термы) подсказывает возможность сведения и этого понятия к обычному понятию гомоморфизма. (Об использовании идеи, существенно от­личной от такого «гёделевского кодирования»,— идеи разделения параметров на «существенные» и «несущест­венные» в целях большей компактности описаний — будет сказано в п. 4 п. 2.16). Заметим, что интерпретации «обобщенных теорем о гомоморфизмах» в «эпистемологических» терминах были уже по существу намечены при введении соответствующих обобщений в п.2.8.

В заключение этого параграфа кажется небеспо­лезным привести один любопытный (хотя и очень простой) пример, в весьма наглядной форме демонстрирующий эффект «метаморфизма» и сопутствующее ему «отождествле­ние нетождественных предикатов». Рассмотрим снова ме­ханическую и электрическую системы, описываемые од­ним и тем же уравнением второго порядка

которые в п.2.3 (п. 5) рассматривались для иллюстрации понятия изоморфизма. Только на этот раз мы будем пред­полагать не только, что в обеих этих системах закрыто от наблюдателя все, кроме входных и выходных шкал, но и что сами системы совмещены: скажем, пружина об­ладает некоторыми согласованными значениями упругости и индуктивности, массивный маховик обладает достаточ­но большим активным сопротивлением, а система махо­вик — жидкость играет ко всему прочему роль конден­сатора. Тогда, как легко понять, на вопрос «что это за система: механическая или электрическая?» оба варианта ответа (равно как и третий: «и то, и другое») с равным ос­нованием могут квалифицироваться как «правильные», а любая из первоначально раздельных систем (или все то же дифференциальное уравнение) может быть охаракте­ризована как результат «метаморфного» преобразования системы совмещенной.

Предоставляем читателю убедиться, что и этот пример может быть в принципе описан в одних лишь терминах гомоморфизма. Замечание это сохра­няет свою силу и для всех остальных разобранных или упомянутых выше примеров, так что с учетом сделанных (и дальнейших) оговорок «Основной теоремой» развивае­мой теории мы будем считать именно теорему о гомомор­физмах (в любой из приведенных выше формулировок).

2.14. «Огрубление» введенных понятий

Главное достоинство структурной схемы, выдвинутой в п. п. 2.10 и 2.11 на основе определений п.2.5, это ее простота. Любые же сколько-нибудь содержательные си­туации, гипотетически описываемые в терминах структу­ры познавательной деятельности человека, непремен­но требуют для реализации такого описания расширения и обобщения первоначальной эпистемологической концепции. Фактически мы уже в п. п. 2.6—2.8 приступили к та­ким расширениям и обобщениям, продолженным далее в п.2.13. При этом нам либо удавалось обходиться известны­ми алгебраическими понятиями, либо вводить некоторые их естественные обобщения, также имеющие чисто алгебраический характер.

В настоящем параграфе мы, следуя традиции, пойдем другим путем. Наши интересы будут сосредоточены теперь не на точных или хотя бы заведомо уточняемых алгебраических концепциях (каковыми во всякой случае являются все результаты дефиниций, введенных или подготовленных изложением п. п. 2.7, 2.8 и 2.13), а на их «нечетких» («расплывчатых», «размытых») аналогах и модификациях. Изменится и стиль изложения: поскольку на смену «диаг­нозам», составившим содержание предыдущих пapaгpaфов, придут в основном прогнозы (с отступлением для «анамнеза» в п.2.17), оно приобретет тезисный характер.

1. В п. 6 п.2.1 упоминались три возможных в принципе уровня, на которых могли бы строиться обобщения понятия модели. После того как в п.2.5 по­нятие это было определено в терминах понятий изомор­физма и гомоморфизма, в п. п. 2.6, 2.8 и 2.9 был реализован второй из этих уровней. На нем и были получены понятия мета­морфизма и параморфизма. Третий из анонсированных в п.2.1 уровней обобщения предполагал пересмотр и обобще­ние тех логических (и теоретико-множественных) поня­тий, в терминах которых определялись «базисные» отно­шения изоморфизма и гомоморфизма (или дальнейшие их обобщения, в первую очередь метаморфизм).

Начиная с 1965 г. получила распространение теория так называемых нечетких множеств, развиваемая преж­де всего Л. Заде. Основная идея Заде состоит в том, что высказывание о принадлежности некото­рого объекта какому-либо множеству, могущее принимать для обычного («четкого», «канторовского») случая два значе­ния: «истина» (или 1) и «ложь» (соответственно 0), для «нечеткого» множества принимает одно из континуума значений: каждое такое высказывание для элемента х и множества (класса) А принимает вид где

μ — так называемая функция членства (принадлежности), определяющая «вес» («меру уверенности», или «степень добротности») принадлежности х множеству А. Конечно, как и в клас­сическом двузначном случае, здесь имеется полный па­раллелизм между теоретико-множественной и теоретико-предикатной манерами выражаться: каждое выражение вида можно интерпретировать как расплывчатый (нечеткий или т. п.) одноместный предикат, прини­мающий в качестве «истинностных значений» любые (в каждом фиксированном случае какое-либо одно) дей­ствительные числа из сегмента (интервала) Наконец, совершенно аналогичным, образом можно ввести и «fuzzy-алгоритмы», в логических условиях которых фигурируют расплывчатые предикаты.