Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 58 )

Отсюда при t = Т имеем

Начиная с момента t = Т груз совершает гармонические колебания с амплитудой А, определяемой этими начальными условиями. Из сохранения полной (т. е. суммы потенциаль­ной и кинетической) энергии колебательной системы полу­чаем после простых преобразований

откуда окончательно

(2)

Таким образом, с помощью структурной модели мы получили явную формулу для коэффициента пропор­циональности между скоростью платформы и амплитудой колебаний груза, возникающих после взаимодействия плат­формы со стенкой. Для каждой конкретной системы по­добного типа мы можем, зная значения параметров подсчитать значения этого коэффициента. Так, для

(3)

получаемс, откуда окончательно

т. е.

(4)

Последнюю формулу можно рассматривать как функ­циональную модель рассматриваемой системы при значе­ниях (3) параметров. Эту формулу для конкретных зна­чений параметров можно было бы получить и непосредст­венно: в самом деле: пропорциональность величин v и А вытекает из линейности задачи или из анализа размерностей, а значение коэффициента пропорциональ­ности h можно найти, проведя физический эксперимент для какого-либо одного значения v. Однако явное выражение (2) коэффициента h через параметры системы может ока­заться полезным при ее проектировании. Отметим, что описанный только что (второй) способ вывода формулы (4) является примером идентификации математической модели. Эта процедура возникает, если после выбора схемы модели требуется определить ее пара­метры, уточнить структуру и т. п.

3.4.2. Дискретные и непрерывные модели

Как известно, величины могут быть двух типов — дискретные, т. е. при­нимающие «оторванные» друг от друга значения, допуска­ющие естественную нумерацию, и непрерывные, принима­ющие все значения из некоторого интервала. Возможен также смешанный случай, например, когда величина на каком-то интервале своих значений ведет себя, как дискрет­ная, а на другом — как непрерывная. (Эти определения не являются исчерпывающими, но для нас они достаточны.)

Подобным образом, модели — как содержательные, так и математические — могут быть либо дискретными, либо непрерывными, либо смешанными. Между этими типами нет принципиального барьера и при уточнении или видоизменении модели дискретная картина может стать непрерывной и обратно; то же может произойти в процессе решения математической задачи. Таким образом, во многих задачах при составлении математической модели, а также при выбо­ре метода ее исследования надо учитывать возможность применения как «дискретного», так и «непрерывного» аппа­ратов (например, для дискретных моделей характерно при­менение сумм, а для непрерывных — производных и интег­ралов) независимо от характера исходной картины.

Пусть, например, изучается прогиб балки от груза, расположенного на интервале сравнительно малой длины. Хотя это распределение непрерывно, мы можем без сущест­венной ошибки, переходя к модели, значительно упростить картину, заменив распределенный груз сосредоточенным.

Рассмотрим этот переход более подробно. Будем для простоты считать балку прямолинейной и направим ось х вдоль нее. Тогда, если груз распределен с плотностью q(x) на малом интервале (l), расположенном вблизи точки x = а, то после замены мы получаем груз

сосредоточенный в этой точке. Как известно, такой сосредо­точенный груз можно рассматривать как распределенный с плотностью

где δ — дельта-функция Дирака (см. Добавление, п. 2). Такой подход как бы перекидывает мост между дискретными и непрерывными моделями и, в частности, дает возможность в случае сосредоточенной нагрузки пользоваться форму­лами, выведенными для нагрузки распределенной.

Описанный переход особенно целесообразен, если конк­ретный вид функции q(х) нам неизвестен, но суммарное значение Q мы знаем. Аналогичный переход к дискретной модели нагрузки можно совершить, если имеется несколько грузов, каждый из которых распределен на малом интервале.

Но пусть таких грузов, замененных на сосредоточенные, много (см. рис. 1, где показан участок балки).

Pис. 1

Тогда может оказаться удобнее перейти к непрерывной модели на­грузки, распределенной с плотностью, показанной на рис. 2 штриховой линией. Эта плотность получается с помощью осреднения исходного распределения сле­дующим образом. Для каждого значения х мы под­считываем нагрузкуприходящуюся на интервал некоторой длины ∆х с центром в точке x, а затем полагаем плотность q(x) равной

q (х) (= q (х; ∆х))= Q (х; ∆х).

(Конечно, практически такой подсчет проводится лишь в каком-то числе точек.) Особенно простая картина получает­ся, если грузы расположены периодически со сравнительно малым периодом: тогда осредненная плотность постоянна.

Эпюра плотности нагрузки зависит от выбора интервала осреднения ∆х. Каким надо взять этот интервал? Нетрудно понять (продумайте это!), что он должен быть велик по сравнению с характерным расстоянием между грузами, но мал по сравнению с общей длиной балки. Например, можно взять среднее геометрическое этих двух величин. (Подумай­те, почему не среднее арифметическое.)

Аналогичная процедура происходит, когда мы от среды, состоящей из отдельных частиц, переходим с помощью осреднения к сплошной среде, параметры которой (плот­ность, температура и т. п.) распределены по пространству; от поезда с дискретными вагонами переходим к его непре­рывной модели; от воздействия на систему, имеющего характер частых подталкиваний, переходим к непрерывно действующей силе и т. д.

Осреднение применяется не только для перехода от дискретной модели к непрерывной, но также и для упро­щения быстро колеблющихся зависимостей в непрерывных моделях.

Переход от дискретной модели к непрерывной, равно как и обратный переход, может существенно упростить исследо­вание, но порой может внести и неадекватность, за чем необходимо следить. Пусть, например, изучаются продоль­ные свободные упругие колебания (с линейным законом упругости) прямолинейного однородного стержня. Обозна­чим и=и(х, t) смещение в момент t сечения с координатой х, отсчитываемой вдоль стержня. Тогда (см. Добавление, п. 16) и удовлетворяет уравнению с частными производными

(1)

Здесь

а смысл букв указан в Добавлении, п. 16.

Заменим стержень на дискретную модель (рис. 2), со­стоящую из последователь­ности с некоторым шагом h материальных точек массы

т, соединенных пружинами нулевой массы и жесткости k.

Pис. 2

В качестве т естествен­но взять массу соответствующей «порции» стержня, т. е. где S — площадь поперечного сечения стержня. Жесткость k выберем такой, чтобы в обеих моделях данному относительному удлинению ε отвечала одинаковая упругая сила. Это приводит к равенству(продумайте его!), откуда

Обозначим смещение i-й точки и применим к ней второй закон Ньютона. Мы получим уравнение

которое после простых преобразований приобретает вид

(2)

(Тот же результат получится, если производную в правой части уравнения (1) заменить на симметричную разделенную разность второго порядка, как это делается при числен­ном решении уравнений с частными производными.) Равен­ство (2) имеет место для каждого из использованных значений t, т. е. мы получили систему обыкновен­ных дифференциальных уравнений.

Покажем, как можно обратно от дискретной модели (2) перейти к непрерывной модели (1). Для этого надо считать х непрерывной переменной и, обозначив х, исходную (лагранжеву) координату i-й точки, воспользоваться формулой Тейлора:

Подставив эти выражения в (2), мы после сокращения на h2 и перехода к пределу приприходим к уравнению (1).