Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 99 )

Применяя свойства дельта-функции, можем переписать задачу (1) в «обычных» терминах:

(2)

Будем считать для простоты, что Тогда после простого преобразования переменных можно счи­тать, что все они безразмерные, причем Решая при таких условиях задачу (2), получаем (про­верьте!)

(3)

Это и есть выражение для функции Грина в данной задаче. Таким образом, ее решение имеет вид

Отметим важное свойство функции Грина, которое сразу следует из формулы (3): это закон взаимности. В самом деле, пусть Тогда при вычислении надо пользоваться первой строкой формулы (3), положив а при вычислении надо пользоваться второй строкой, положив что приведет к тому же результату (проверьте!).

Оказывается, что закон взаимности является следствием консервативности рассматриваемой системы, т. е. на­личием у нее потенциальной энергии. В самом деле, пусть к некоторой точке р приложена сила, непрерывно возраста­ющая от 0 до Р. Тогда прогиб в этой точке возрастает по линейному закону от 0 до а потому сила совершает работу Оставим эту силу без изменения и приложим в точке q еще одну силу, возрастающую от 0 до Q. Тогда эта сила совершит работу а первая — работу (Здесь используется предположение о линейности системы, в силу которого добавочный прогиб при приложении силы не зависит от уже имеющегося прогиба.) В итоге стержень накопит потенциальную энергию

Если же сначала возрастает вторая сила, а потом первая, то потенциальная энергия получается равной

Но так как итоговые положения стержня в обоих случаях одинаковы, то эти два выражения должны быть равными. Поэтому

Аналогичное построение для задачи мы предостав­ляем читателю, а здесь приведем только окончательный результат, функция Грина (при решении задачи Коши она называется также функцией Коши) для этой задачи имеет вид

это — реакция осциллятора на единичный импульс (тол­чок), подействовавший в момент Поэтому решение задачи таково:

Приведем теперь интегральное представление другого типа на примере задачи для одномерного уравнения теплоп­роводности:

Если заданный закон изменения температуры на конце стержня считать входом, а решение — выходом, то мы получаем линейную систему.

Нетрудно непосредственно убедиться (попробуйте!) в том, что входу отвечает решение

где erf — функция ошибок (п. 2). Чтобы перейти к произвольному входу представим его, как показа­но на рис. 1, в виде суммы ступенек — одной конечной с уравнением и остальных бесконечно ма­лых с уравнением общего вида где Н — единичная функция Хевисайда (см. Дополнение, п. 2).

Рис. 1

Другими словами, мы как бы считаем, что происходит непрерывное подключе­ние бесконечно малых постоянных входов. Так как каждый такой вход порождает решение

то, проводя суммирование с учетом равенства и учитывая вклад от конечной ступеньки, полу­чаем формулу для решения:

Решение, полученное с помощью такого разложения входов на ступеньки, иногда называют интегралом Дюамеля.

3.8.5. Автомодельные решения

Автомодельные («самопо­добные») решения играют важную роль при изучении мате­матических моделей сплошных сред, а построение и приме­нение таких решений лежит в основе ряда аналитических методов. Рассмотрим в качестве примера уравнение тепло­проводности для однородного стержня

(1)

и поставим цель найти такое решение, график которого, изображенный при фиксированномс изменением t растягивается или сжимается в определенное число раз к каждой из осей Другими словами, при изменении t можно не перестраивать этот график, а только менять единицы масштаба вдоль указанных осей. Такое решение и называется автомодельным; оно должно иметь вид

(2)

где f — безразмерная функция безразмерного аргумента, а все размерности включены в коэффициенты растяжения lt (по оси х) и kt (по оси в), зависящие только от t Так как стержень считается бесконечным, а потери тепла через его поверхность уравнением (1) не учитываются, то естест­венно поставить требование, чтобы общее количество тепла в стержне оставалось постоянным:

(3)

где с — удельная теплоемкость, ρ — плотность и S — площадь поперечного сечения стержня. Из этого условия вытекает, что коэффициенты lt и kt должны быть обратно пропорциональными (почему?), где

Так как отношение должно быть безразмерным, а в силу уравнения (2) размерности величин удовлетворяют соотношению

то lt с точностью до несущественного числового множителя (его можно включить в f) должно равняться Таким образом, в силу (2) получаем

Чтобы найти функцию f, вычислим производные

и подставим их в уравнение (1). После простых преобра­зований, которые мы предоставляем читателю, получается дифференциальное уравнение для функции f:

(4)

Таким образом, мы перешли от уравнения с частными производными к обыкновенному дифференциальному урав­нению.

Замечательно, что уравнение (4) можно проинтег­рировать точно:

где — произвольные постоянные. Ограничиваясь первым слагаемым (второе имеет более сложный физический смысл), получаем искомое решение:

(5)

Постоянную С подберем так, чтобы общее количество тепла в стержне равнялось некоторому заданному значению Q. Исходя из известного интегралаи формулы (3), имеем