Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 109 )

Ядро уравнения Гельфанда-Левитана имеет вид

Рассмотрим уравнение Гельфанда-Левитана с ядром (31)

И будем искать его решение в виде

Получим

Следоватеотно

и по формуле (24) получим решение задачи Коши (25) с начальной функцией (29):

Решение (36) является частным случает более общего решения уравнения Кортевеча-де Фриза.

соответствующее значениям параметров α=2, х0=0.

Решения уравнения Кортевеча-де Фриза вида (37) получили название солитонов. Они описывают бегущие волны неизменной формы, имеющие скорость, прямо пропорциональную амплитуде решения.

Будем называть солитонами такие решения нелинейных уравнений, которые имеют вид уединенных волн, взаимодействующих таким образом, что после взаимодействия они сохраняют неизменной свою форму, получая лишь приращения в фазах.

3.10. Методы самоконтроля

3.10.1. Прикидки

В процессе применения математики к ре­шению реальной задачи выдача результата обычно связана с определенной моральной и/или материальной ответствен­ностью. Поэтому на всех стадиях исследования с целью предотвращения ошибок широко применяются различные методы самоконтроля.

Большую пользу, причем не только для самоконтроля, приносят разного рода прикидки, которые могут быть на­правлены как на получение предварительных сведений о самом решении, так и на упрощение уравнений задачи — что, впрочем, взаимосвязано. Для первого полезно нефор­мальное обсуждение условий задачи, по возможности ясное представление картины изучаемого процесса, привлечение физических соображений, интуиции, аналогий с ранее изу­ченными случаями и т. п. Эту прикидку можно получить и с помощью максимально возможного упрощения геомет­рических форм и уравнений задачи. Знание, хотя бы самое грубое, качественных и количественных характеристик ис­комого решения может помочь при выборе более точного метода — в частности, при выборе нулевого приближения в итерационных методах, дает возможность указать характер­ные значения участвующих величин, а в ряде случаев и упростить уравнения задачи. Сравнение свойств решения, полученного более точными методами, с предварительными сведениями о нем дает дополнительное средство контроля, так как соответствие этих данных значительно повышает доверие к результатам. Существенное рассогласование меж­ду этими данными свидетельствует об ошибочности либо одних, либо других (а может быть, и тех и других); в этом случае нужны проверка и обсуждение всех данных. Такое обсуждение полезно и для развития интуиции в области, к которой относится решаемая задача.

Как было сказано только что, с помощью прикидок мы можем получить характерные значения участвующих ве­личин и перейти к безразмерной форме уравнений задачи. Это дает возможность прикинуть величину отдельных членов уравнения и сравнительно малые члены либо отбросить, либо упростить, либо учесть с помощью метода малого параметра. После решения упро­щенного таким образом уравнения можно путем подстановки проверить, в самом ли деле относительно малы отброшен­ные члены.

Прикидки систематически проводятся и для текущего контроля вычисления арифметических и более сложных выражений, интегралов и т. п., особенно в случаях, когда есть опасность ошибиться в порядке величины (неправильно написать показатель степени у десятки). Приведем ти­пичные примеры:

(более точное значение 6,318∙103);

(более точное значение 0,988);

(более точное значение 0,584).

Приведем в заключение два курьезных примера того, как прикидка порядка величины позволяет обнаружить грубую ошибку. В известной повести «Продавец воз­духа» есть такой эпизод. Рассказчик вместе с главным злодеем посещает склад, где хранятся какие-то шарики. Первый пытается поднять шарик, но не может, на что второй говорит: это неудивительно, не всякая лошадь может сдвинуть с места поклажу с таким шариком, ведь в нем заключен кубический километр воздуха... Читателя, привы­кшего к прикидкам реальных значений физических величин, это замечание о лошади сразу настораживает: в самом деле, так как масса 1 м3 воздуха равна 1,3 кг, то масса 1 км3 воздуха в (103)3 раз больше, т. е. равна 1,3 × 106 тонн! По-видимому, разгадка «лошади» в том, что, по мнению фантаста, 1 км3 содержит 103 м3.

Другой пример. В разделе «Рога и копыта» на 16-й странице «Литературной газеты» как-то появилось сооб­щение: сотрудник одного элеватора подсчитал, что емкость этого хранилища составляет 83 952 264 175 293 648 209 зе­рен пшеницы. Отвлекаясь от того, что ответ не может быть известен с такой точностью, предлагаем читателю обна­ружить грубейшую ошибку в этом ответе.

3.10.2. Контроль размерностей

Этот простой, но важный тест состоит из трех правил:

1) складывать друг с другом и связывать неравенствами можно только величины одинако­вой размерности;

2) если размерность какой-либо величины, представленной некоторой формулой, известна заранее, то эта размерность должна вытекать и из данной формулы;

3) аргумент трансцендентной (т. е. неалгебраической) фун­кции должен быть безразмерным, т. е. числом (в частности, безразмерным должен быть и аргумент тригонометрических функций в соответствии с правилом: sin (угла в х ра­диан) — sin (числа х)).

Пусть, например, величины а, b имеют размерность длины. Тогда, если в процессе выкладок получилось выра­жение или или просто а + 1, то это свидетельствует о допущенной ошибке, так как нарушено первое правило. Аналогично, если получилось выражение для площади то нарушено второе правило. Так как ошибку желательно обнаружить по возможности рань­ше, описанную проверку следует проводить не только по окончании вывода того или иного соотношения, но и на промежуточных стадиях этого вывода.

Отметим, что если в предыдущем примере a, b представ­ляют собой значения безразмерной длины, т. е. численные значения длины, выраженные через определенную единицу измерения, то все выписанные выражения возможны (конечно, тогда под S понимается безразмерная площадь). Для безразмерных величин правила контроля размерностей не действуют.

Приведем еще пример. Как-то в научном докладе встре­тилось выражение причем докладчик говорил, что t — это физическое (размерное) время. Он не заметил, что в силу третьего правила контроля такое выражение до­пустимо, только если t — безразмерное время.

Стремление к контролю размерностей приводит к тому, что если в формулировке задачи даны конкретные значения параметров, то часто оказывается удобным обозначить эти значения буквами, считая их размерными, затем решить задачу в буквенном виде и лишь после этого подставить вместо букв их значения. При переходе к действиям с числами здесь добавляется контроль системы единиц, сог­ласно которому все величины должны быть выражены в одной и той же системе единиц.

Вот простой пример. Пусть требуется вычислить мас­су медной пластинки, вырезанной из листа толщиной δ=0,72 мм и имеющей форму равнобедренного треуголь­ника с основанием а=5,2 см и боковой стороной b=3,7 см. Для решения обозначим размерные массу и плот­ность соответственно буквами т и ρ; тогда легко вывести формулу

(1)

Нетрудно проверить, что правила контроля размерностей выполнены. При вычислениях надо подставить ρ=8,96 г/см3 и не забыть перевести δ в сантиметры; получаем

3.10.3. Другие виды контроля

Перечислим еще некоторые (не все!) применяемые методы контроля.

Контроль законов сохранения. Если в содержательной модели потери энергии считались пренебрежимо малыми, то математическая модель должна удовлетворять условию сох­ранения энергии, а потому и для решений должно прояв­ляться это свойство. Например, так было для осциллятора, показанного на рис. 1, равно как и для его модели — урав­нения (1): в самом деле, если обе части этого уравнения умножить на и произвести интегрирование, то получим соотношение

которое и является математической моделью закона сохра­нения энергии. Можно проследить его и для решения (2), так как

Если же в содержательной модели потери энергии были учтены, то соответствующим свойством должны обладать также математическая модель и решение. Аналогичную проверку полезно произ­водить для закона сохранения количества движения и других подобных законов. Как правило, аналоги фундаментальных законов желательно сохранять и при переходе к вычис­лительному алгоритму, так как этим обеспечивается пра­вильная передача решением наиболее глубоких свойств мо­делируемого объекта.