Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 83 )

3.6.10. Конечные уравнения

В этом и последующих пунктах мы коротко опишем наиболее распространенные типы урав­нений, встречающихся в приложениях математики в каче­стве компонентов математических моделей, а также упомя­нем о методах их решения; подробное изложение этих методов можно найти в курсах приближенных вычислений.

Конечное уравнение (алгебраическое или трансцендент­ное, т. е. неалгебраическое) после переноса всех его членов в левую часть имеет общий вид

(1)

где f — скалярная функция скалярного аргумента; сис­тема конечных уравнений с несколькими неизвестными имеет вид

(2)

Если имеется в виду точное решение такой системы, то надо следить за тем, чтобы уравнений было столько же, сколько неизвестных, и чтобы эти уравнения были не­зависимыми, т. е. чтобы ни одно из них не было следствием остальных.

Наиболее благоприятен случай, когда все уравнения (1) — алгебраические уравнения первой степени. Тогда для построения решения в общем случае применяется тот или иной вариант метода Гаусса (последовательного исклю­чения неизвестных). Стандартные программы для ЭВМ поз­воляют решать подобные системы, в которых число неизве­стных может исчисляться сотнями. Разработан также ряд методов, эффективных при решении специальных классов линейных систем, возникающих в различных приложениях математики.

Отметим одно осложнение, которое может проявиться даже при решении линейных систем уравнений: такая система может оказаться плохо обусловленной, т. е. малое изменение исходных данных может существенно изменить решение, а поскольку исходные данные известны лишь приближенно, то решение тогда получается совершенно недостоверным. В качестве примера приведем систему уравнений

(3)

Ее решение с точностью до 10-3 таково: х = 0,246; у = 1,857. Заменив же правую часть второго уравнения на 3,394, мы получаем решение х = 3,362; у = - 0,509. Ясно, что эти результаты не внушают доверия. Кстати, вычисление «вручную» сразу показывает, в чем здесь дело: определитель системы равен - 0,000743, т. е. хотя формально и не равен нулю, но очень близок к нему, а значит, уравнения «почти зависимы». Но ЭВМ, если не принять необходимых мер предосторожности, выдаст каждый из приведенных резуль­татов как достоверный. (Рассмотренный пример имеет простое геометрическое истолкование. Каждое из уравнений (3) определяет прямую на плоскости с декартовыми координатами х, у, так что задача состоит в нахождении точки пересечения двух прямых. В данном примере эти прямые пересекаются над весьма малым углом (менее 0,5 угловой минуты). Малому изменению правой части отвечает малый перенос второй прямой в поперечном направлении. Но при таком переносе точка пересечения прямых может значительно сдвинуться!).

Имеются различные способы распознавания плохой обус­ловленности системы уравнений. Самый простой из них состоит в пересчете решения при произвольном изменении исходных данных в рамках их точности. Если при этом обнаружится неприемлемый разброс результатов, то обычно стараются как-то существенно изменить систему уравнений задачи, другими словами, заменить математическую модель.

Нелинейное уравнение (1) решают чаще всего «вруч­ную», а систему вида (2) — на ЭВМ обычно с помощью какого-либо из вариантов метода Ньютона. Однако при этом число уравнений и неизвестных, при котором система допускает эффективное решение, в общем случае существенно снижается по сравнению с линейным случаем, до значения порядка 10. Впрочем, многое зависит от выбора нулевого приближения: удачный выбор, основан­ный на прикидке или на неформальных соображениях, может «расколоть» и систему из большего числа уравнений, а также существенно уменьшить число итераций.

Если система конечных уравнений включает параметр и ее решение при некотором значении параметра известно, то для получения решения при других значениях параметра можно применить метод продолжения решения по парамет­ру. Этот метод мы поясним на примере системы

(4)

с параметром t. Пусть известны значения решения при t = t0:

(5)

Чтобы найти решение системы (4) при других значениях t, продифференцируем уравнения (4) по t, считая в них х и у функциями t; получаем

(6)

Эти равенства образуют систему двух линейных алгеб­раических уравнений относительно и и поэтому определяют эти производные как функции коэффициентов и правых частей, т. е. в конечном счете как функции х, у, t. (Для системы (6) выражения этих функций нетрудно выписать явно, но, вообще говоря, в таком явном выписы­вании нет необходимости.) Таким образом, мы приходим к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Решая ее численно при начальных условиях (5), мы и получаем искомое решение системы (4) — во всяком случае, пока оно не уйдет в бесконечность или пока определитель системы (6) не ста­нет близким к нулю, что всегда является признаком кри­тической ситуации. Отметим, что в процессе продолжения желательно время от времени проводить уточнение ре­шения — например, по методу Ньютона.

Сходный метод постепенной перестройки известного ре­шения применяется и для более сложных задач, включа­ющих дифференциальные, интегральные уравнения и т. д. Его можно применить и в случае, когда в поставленную задачу параметр не входит: тогда он вводится искусственно так, чтобы при одном его значении получилась задача с известным решением, а при другом — исходная задача.

Отметим некоторые случаи, когда решение нелинейной системы (2) существенно упрощается. Пусть, например, все уравнения этой системы, кроме последнего, линейны. Тогда, перенеся в первых п — 1 уравнениях члены с хп в правую часть (кстати, в эти члены хп может входить и нелинейно), мы, как правило, можем разрешить эти урав­нения относительно выразив тем самым эти неизвестные через хп. Подставив полученные выражения в последнее уравнение (2), мы приходим к уравнению вида (1) относительно хп.

Сравнительно просто решается также треугольная си­стема уравнений, общий вид которой

В самом деле, найдя из первого уравнения значение х1, мы можем подставить его во второе, в результате чего получится уравнение с единственной неизвестной х2. Найдя значение х2, мы подставляем полученные значения х1 и х2 в третье уравнение, т. е. приходим к уравнению с единственной неизвестной х3, и так до последнего уравнения, из которого находим значение хп.

Описанные случаи допускают разнообразные варианты.

Отметим, что нелинейные уравнения и системы урав­нений в отличие от линейных могут иметь более одного решения. Тогда возникают вопросы — то ли решение мы получили, которое нас интересует, и могут ли подсказать что-то полезное другие решения; сходные вопросы появля­ются, если задача вместо вещественного решения, которое ожидалось, или наряду с ним обладает комплексными ре­шениями.

Важным частным случаем нелинейных уравнений, встре­чающимся в разнообразных приложениях математики, явля­ется характеристическое уравнение для квадратной мат­рицы порядка т. Это алгебраическое уравнение степени т, имеющее вид

где І — единичная матрица порядка т. В курсах численных методов и в специальной литературе приведен ряд методов его решения.

В заключение заметим, что хотя для нахождения п величин в принципе достаточно п независимых конечных уравнений, но если эти уравнения выписываются с опреде­ленной погрешностью, то в ряде случаев для повышения достоверности ответа количество уравнений увеличивают. Тогда задача о решении системы уравнений преобразуется в задачу об их наилучшем совместном приближенном удов­летворении, что можно сделать, например, с помощью одного из вариантов метода наименьших квадратов.

Приведем пример. Пусть для определения двух величин х, у мы получили три уравнения:

На первый взгляд эта система противоречива, так как, складывая два первых уравнения, мы приходим к противо­речию с третьим. Но если правые части получены в резуль­тате измерения и содержат погрешность, то такая система вполне естественна. В простейшем варианте метода наи­меньших квадратов х и у надо найти из условия

которое приводит к значениям

Различные методы численного решения конечных урав­нений изложены во многих курсах численных методов.

3.6.11. Уравнения для функций одного аргумента

Если для ответа на поставленные вопросы необходимо предварительно найти те или иные функции, то конечных уравнений обычно оказывается недостаточно и приходится привлекать урав­нения более сложной структуры. Здесь мы рассмотрим слу­чай, когда искомыми являются функции одного аргумента.