Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 88 )

После этого напишем приближенное выражение интегра­ла (1) с помощью одной из квадратурных формул, при­чем производные также заменим приближенным выраже­нием через значения у1. Например, применяя квадратурную формулу прямоугольников, получим

при этом надо учесть, что значения у0 и уп заданы в силу условий (2). Таким образом, мы приходим к задаче на экстремум функции n—1 аргументов которую можно приближенно решать одним из методов, упомянутых в п.6.11. Аналогично решаются задачи на условный экстремум и экстремум с ограничениями для функционала (1) и функционалов более сложной структуры.

Другой распространенный прямой метод приближенного решения вариационных задач — метод Ритца — по клас­сификации п. 9 принадлежит к числу непрерывных. Так, для задачи (1), (2) этот метод состоит в том, что при­ближенное решение строится в виде

(3)

Здесь функция φ0 удовлетворяет условиям (2), «коор­динатные функции» — соответствующим однородным условиям а — искомые постоянные. Подстановка выражения (3) в интеграл (1) сводит исходную задачу к задаче на экстремум с конечным числом степеней свободы.

Весьма широко распространен еще один класс экстремальных задач с искомой функцией — задачи оптимального управления. Поясним их на простом примере. Пусть вдоль оси х движется материальная точка массы т под действием только силы инерции и внешней силы F(t), которая находится в нашем распоряжении, но не может по модулю превышать заданное значение F0. Требуется так выбрать внешнюю силу, чтобы за кратчайшее время («зада­ча о быстродействии») точка пришла в начало координат х = 0 и там остановилась.

Математическая формулировка этой задачи имеет вид

Ее решение оказывается следующим: если при имеет место неравенство то надо полагать (соответственно пока оно не обратится в равенство; после этого переключить на противоположное крайнее значение и ожидать прихода точки в начало координат, после чего отключить силу. Это правило действий наглядно показано на «фазовой плоско­сти» х, v (v — скорость точки; рис. 1), где жирная линия имеет уравнение а тонкие линии показывают изменение х и v при указанном выборе для различных начальных условий.

Рис. 1

Одна из возможных общих форм подобных задач такова: задана система дифференциальных уравнений

а также начальные и конечные условия

Здесь функции описывают эволюцию управляемой системы, а функции — управление, стесненное заданными ограничениями, например, вида

Требуется так подобрать управление, чтобы минимизи­ровать заданный целевой функционал, например, вида

Имеются разнообразные варианты этой постановки за­дачи. Отметим, в частности, что различают программное управление, когда все величины и, строятся как функции време­ни t, и позиционное управле­ние, когда они зависят также от т. е. в про­цессе управления мы учитыва­ем, как система эволюционирует, другими словами, имеется об­ратная связь. Точное решение подобных задач, как в приведен­ном выше примере, возможно лишь в весьма редких случаях. Разнообразные методы при­ближенного построения решения содержатся в курсах оптимального управления.

Подчеркнем в заключение, что решение любой задачи на оптимизацию самым существенным образом связано с выбором критерия оптимальности, т. е. целевого функцио­нала. При смене критерия решение может измениться, так что не существует «оптимизации вообще» без указания критерия, он должен быть явно указан или подразумеваться. Невнимание к этому вопросу, неправильный выбор критерия порождали многочисленные недоразумения и ошибки.

Приведем простой пример. Пусть три города А, В, С, расположенные в вершинах правильного треугольника на ровной местности, надо соединить автодо­рогами; как это лучше всего сделать? Решение этой, казалось бы, совсем простой задачи существенно зависит от выбора критерия. Если мы поставим целью минимизацию стоимости строительства, т. е. минимизацию общей длины дорог, то решение окажется таким, как показано на рис. 2,а если же мы захотим минимизировать время проезда из одного города в другой, то решение изменится — оно показано на рис. 2,б.

Рис. 2

Отметим, что «классические» математические методы можно применять, если критерий оптимальности в задаче только один. Поэтому распро­страненные выражения типа «получить максимальную по­льзу при минимальных затра­тах» математически некор­ректны; надо говорить «полу­чить максимальную пользу при заданных затратах» (тог­да критерий — максимизация пользы) или «получить задан­ную пользу при минимальных затратах» (критерий — ми­нимизация затрат). Многокритериальные задачи на опти­мизацию обычно стараются как-то свести к единому кри­терию, но это далеко не всегда удается. (Что лучше — быть богатым, но больным или бедным, но здоровым?) Тогда приходится привлекать экспертные оценки и т. п.

Численные методы решения задач на экстремум, упомя­нутых в этом пункте, приведенные во многих книгах.

3.6.15. О применимости математического анализа

Все ос­новные понятия и соотношения математического анализа в прикладном исследовании получаются в результате иде­ализации, упрощения свойств реального объекта, и этонеобходимо иметь в виду при построении его математичес­кой модели. Рассмотрим несколько примеров.

Пусть в электрическую цепь в момент включается постоянное напряжение Тогда зависимость обычно принимается такой, как показано на рис. 1,а, она имеет при скачок.

Рис. 1

Но если более детально проследить за ней, то окажется, что она имеет вид примерно такой, как показано на рис. 1,б, т. е. скачка не имеет. Надо ли учиты­вать это обстоятельство, т. е. законна ли идеализация в виде скачка?

Ответ зависит от того, какие свойства изучаются, и от значений параметров задачи. В подавляющем большинстве вопросов характер и время нарастания напряжения несуще­ственны, важно только, что длительность τ переходного процесса мала по сравнению с характерным временем Т основного изучаемого процесса — например, периода коле­баний, возникающих в контуре. (Кстати, каков смысл выра­жения «мала по сравнению с... »? Обычно это означает переход к следующим порядкам величины, т. е. уменьшение по крайней мере в 10 раз. Более детальный разбор этого понятия содержится далее) Тогда можно упростить реальную быстро нарастающую зависимость, заменив ее идеализированной — разрывной.

Если же τ сравнимо с Т, то такая замена может ока­заться неадекватной и тогда надо так или иначе учесть нарастающий характер . Наконец, сама эта зависимость может оказаться предметом изучения. Тогда следует при­нять τ за характерное время и в дифференциальных урав­нениях, определяющих , перейти к безразмерному вре­мени

В качестве другою примера рассмотрим определение (Д. 30) понятия плотности неоднородного тела в точке. В математических курсах считается, что область бесконечно мала, т е. в процессе ее изменения размеры этой области становятся меньше любого заданного положитель­ного значения. Но ясно, что реально область не может уменьшаться безгранично, ее размеры должны быть сущест­венно больше межмолехулярных расстояний. Как же понимать формулу (Д. 30)?