Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 62 )

пространства X. Мы скажем, что с и с' согласованы, если отображения и аналитичны, где (см. диаграмму).

Если с и с' согласованы и V≠0, то п=п'. Семейство модулей называется покрытием пространства X, если

Альбомом математических моделей (дальше - альбомом) А пространства X назывем такое се­мейство модулей, образующее покрытие пространства X, в котором любых два модуля согласованы.

Мы будем говорить, что два альбома А и А' согла­сованы, если выполнено одно из следующих двух эквивалентных условий:

(1)— альбом;

(2) если и то модули с и с' согласованы.

Замечание. Согласованность двух альбомов есть отношение эквивалентности. Действительно, рефлек­сивность и симметричность очевидны; докажем тран­зитивность. Пусть даны три альбома А1, А2 и А3, причем альбом А1 согласован с А2 и альбом А2 согласован с А3. Пустьи Мы должны показать, что с1 и с3 согласованы. Обозначим через V пересечение Случай тривиален. Пусть и пусть и В силу симметрии достаточно установить, что отображение аналитично на Для этого мы покажем, что это отображение аналитично в каждой точке вида

Выберем модуль такой, что Отображение аналитично в точке отображение аналитично в точке Следовательно, отображение аналитично в точке что и требовалось доказать.

3.5.2. Определение аналитического многообразия

Пусть X — топологическое пространство математических моделей.

Структурой аналитического многообразия в про­странстве X назывем класс эквивалентности согла­сованных альбомов этого пространства.

Можно дать и другое определение. Будем говорить, что альбом А полон, если любой модуль с простран­ства X, согласованный со всеми модулями этого альбома, тоже принадлежит этому альбому. Понятно, что класс эквивалентности всех согласованных альбомов данного пространства содержит только один полный альбом. Таким образом, мы приходим ко второму определению: структурой аналитического многообразия называется полный альбом пространства X.

Всюду в дальнейшем символ X обозначает топо­логическое пространство, снабженное фиксированной структурой аналитического многообразия; его полный альбом мы будем обозначать через А(Х). Говоря о модулях этого пространства, мы будем иметь в виду только модули альбом А(Х).

Пусть Размерностью многообразия X в точке х называется размерность любого модуля с, такой, что Функция локально постоянна на X. Если эта функция —глобальная кон­станта, равная п, то мы говорим, что многообразие X имеет всюду одинаковую размерность, и называем его п-мерным многообразием.

В частных случаях, представляющих наибольший интерес в теории математического моделирования, принята следующая терминология:

если k=R, говорят, что X — вещественное анали­тическое многообразие;

если k=С, говорят, что X — комплексное анали­тическое многообразие;

если k = Qр, где р — некоторое простое число, говорят, что X есть р-адическое аналитическое много­образие.

3.5.3. Топологические свойства многообразий

Пусть и пусть Обозначим через шар радиуса r с центром в точке х, т. е. полицилиндр где

Подмножество мы будем называть шаром в том случае, когда имеется модуль такой, что и — обычный шар в пространстве kп.

Следующие свойства почти очевидны.

(1) Каждая точка обладает окрестностью, которая является шаром. В частности, X —локально полное метрическое пространство (и следовательно, пространство Бэра).

(2) Если k — локально компактное поле, то шар пространства Х компактен. В частности, если X — хаусдорфово пространство, то оно локально компактно.

(3) Предположим, что X — регулярное пространство, a k — неархимедово поле. Тогда каждая точка обладает базисом окрестностей, одновременно откры­тых и замкнутых.

Из всех перечисленных свойств только последнее, пожалуй, не совсем очевидно; докажем его. Пусть В — шар многообразия Х, содержащий точку х, и пусть — модуль этого многообразия, такой, что и — шар в kп. В силу известных свойств неархимедовых полей шар является открытым множеством пространства kп. Таким образом, само множество В тоже открыто в X. Поскольку простран­ство X регулярно, найдется окрестность V точки х, такая, что и V замкнута в X. Рассмотрим совокупность всех шаров с центром в точке φ(х), содержащихся в множестве φ(V), и возьмем их прообразы (при отображении φ). Нетрудно видеть, что множество этих прообразов образует фундаменталь­ную систему окрестностей точки х, каждая из которых одновременно открыта и замкнута.

3.5.4. Примеры многообразий

1. X — дискретное пространство (п = 0).

2. X = V, где V — конечномерное векторное про­странство над k, Обозначим через А набор модулей вида где - линейный изоморфизм. Легко проверяется, что все эти модули согласованы, т. е. множество А образует альбом про­странства V, которое таким образом наделяется структурой аналитического многообразия.

3. Пусть X — многообразие и U — его открытое подмножество. Возьмем полный альбом А(Х) нашего многообразия и рассмотрим множество

Очевидно, является полным альбомом множества U. Подпространство U вместе с этим альбомом назывем открытым подмногообразием многообразия X.