Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 23 )

И все-таки можно считать, что неза­висимо от любых возможных их классификаций подлинная «типология моделей» устроена проще и что все эти разновидности без особой натяжки подпадают под достаточно едино­образную схему.

2. Для формулировки соответствующей этой схеме дефиниции как раз и понадобит­ся понятие гомомор­физма и его частный случай — изоморфизм. Поскольку, однако, мы еще очень далеки от их формальных определений (которые на данном этапе не могли бы еще способствовать действительному прояснению сущности понятий), то придется сделать скидку на то, что «дефиниция» носит (пока) чисто интуитивный характер. В остальном же мы примем, (с небольшими техническими отличиями; более существенно то, что гомоморфизмом названо отношение, именуемое ниже метаморфизмом) схему, опирающихся — хотя и не совсем буквально — на концепцию .

Первое, что нам хочется сделать — выбрать в качестве отношения «быть моделью» какое-нибудь отношение типа эквивалентности, обладающее свойствами рефлек­сивности, симметричности и транзитивности. Раз «модель» — это что-то «подобное» данному объекту, то и сам объект, естественно, должен быть «подобен» «моде­ли» (симметричность); также естественно позаботиться о том, чтобы свойство «быть моделью» было «наследствен­ным», т. е. чтобы «модель» «модели» в свою очередь была бы «моделью» исходного объекта (транзитивность). Что же касается первого условия (рефлексивности), то оно еще более непосредственно согласуется с интуицией: копия данного объекта должна бы служить его идеальной «моделью».

Но возможен и другой подход, не менее естественный. Встает вопрос, почему «модель» и «оригинал» должны непременно быть равноправны? Ведь «модель» в некоторых отношениях может быть «проще» «оригинала» (не в этом ли и смысл «моделирования»?!). Итак, откажем­ся от симметричности (от двух других свойств эквива­лентности отказываться, конечно, незачем), заменив ее несколько расплывчатым, но с интуитивной точки зрения естественным свойством «быть проще».

Но и это не обязательно! Ведь нигде не сказано, что «модель», если она даже в чем-то проще «ориги­нала», должна быть во всем его проще? Почему бы ей, будучи проще «оригинала» в тех отношениях, в которых мы специально заинтересованы, не быть — в чем-то дру­гом, до чего нам в данном случае дела мало — в то же время и сложнее его? — «Триада» замыкается, и мы «на новом уровне снова приходим к симметричному отноше­нию: «иметь подобные друг другу упрощенные образы».

3. Реализация первого из разобранных выше вариан­тов определения приводит нас к рефлексивному, сим­метричному и транзитивному понятию изоморфизма. Как уже говорилось, именно это понятие яв­ляется наиболее простой и естественной — но потому и наиболее тривиальной — экспликацией интересующего нас интуитивного представления о «моделях» в точных логико-алгебраических терминах. Распространенность та­кой экспликации тем более велика, что в ряде случаев она даже и не фигурирует в качестве экспликации, а высту­пает в роли «само собой разумеющегося» условия «адек­ватности» моделирования, отражения или вообще позна­ния. (Выбор какого-либо одного из этих трех не предполагаемых си­нонимичными терминов определяется уровнем абстракции рас­смотрения проблемы, а в еще большей степени — традициями и вкусами авторов).

4. Реализация второго варианта определения «модели» дает более общее понятие гомоморфизма, также рефлексивное и транзитивное, но уже несимметричное. Это понятие и различные его обобщения являются основным предметом обсуждения в этом разделе. Идея «обыграть» это понятие для уточнения представлений о моделировании также достаточно естест­венна и далеко не нова. Однако в известных трактовках вопроса, в том числе, в послуживших образцом для его анализа, поня­тие гомоморфизма трактуется как в некотором роде окончательный продукт необходимых (вернее вынужденных) обобщений, в то время как в дальнейшем это понятие будет, напротив, выбрано в качестве отправного пункта последующих спецификаций (изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм) и, в особенности, обобщений. Далее мы займемся обсуждением различных возможных аспектов такого рода обобщений.

5. Оставаясь пока в рамках традиционных понятий изоморфизма и гомоморфизма и обращаясь к третьему из обсуждавшихся выше возможных вариантов определения понятия модели, мы приходим снова к рефлек­сивному, симметричному и транзитивному отношению, а именно, к отношению «быть моделью.

6. Уже a priori ясно, что о дальнейших обобщениях этого понятия модели можно говорить на трех принципиально различных уровнях. Первый из этих уровней связан с попытками какого-либо разумного ослабления самого по себе понятия модели и прежде всего, очевидно, с заменой эвристической идеи эквивалент­ности модели и оригинала на их сходство, подобие, что, в свою очередь, сразу ведет к отказу от требования тран­зитивности этого отношения. Таким путем мы должны были бы прийти к некоторому отношению толерантности: рефлексивному и симметричному, но не транзитивному. Однако непосредственно не видно, как мож­но было бы получить такое обобщение, поскольку тран­зитивность отношения «быть моделью» в принимаемом нами определении не постулируется, а вытекает из свойств отношений изоморфизма и гомоморфизма. Поэтому рас­сматривать данный уровнь обобщения мы пока не будем.

Второй уровень обобщения оставляет в неприкосно­венности схему определения модели в терминах отно­шений изоморфизма и гомоморфизма, сосредоточивая внимание на обобщении самих этих отношений, точнее — второго из них. Именно этому уровню обобще­ния и посвящен в основном этот раздел.

Наконец, имеется и третий уровень возможных обоб­щений. Он связан с пересмотром тех понятий, в терминах которых мы ниже, как обычно, определяем сами понятия изоморфизма и гомоморфизма. Возможности эти весьма существенны, но требуют настолько радикально­го пересмотра некоторых основных понятий логики и ма­тематики (в частности (но не только) в духе работ Л. Зйде, в отечественной литературе к этой проблематикь впервые обратился, по-видимому, ), что в большей своей части выходит за рамки наших рассмотрений. В обзорном порядке мы вернемся к этому вопросу дальше.

7. В термине «модель», столь часто нами употребляе­мом, имеется некий «без­личный» привкус: можно подумать, что все эти «подобия» и «упрощения» действительно «имеют место» в некоей (довольно-таки платонистской) «онтологии». Если, одна­ко, вспомнить, в связи с чем мы ввели все эти понятия, то станет понятно, что «модель» для нас (во всяком слу­чае, пока мы интересуемся гносеологическими вопроса­ми) не столько объективный атрибут чего бы то ни было, сколько продукт чьего-то (скажем, нашего собственного) «моделирования». Не предваряя дальней­ших выводов, связанных с таким пониманием термина, отметим лишь, что рассчитывать на «готовые» изоморфные модели было бы в любом случае несколько странно: изоморфизм есть, скорее, некий идеал, «предельный случай» более «обычно­го» понятия гомоморфизма. А если уж непременно хо­теть «равноправия» между «моделью» и «оригиналом», то естественно употреблять термин «модель» в последнем из упомянутых выше смыслов, что мы, как правило, и будем делать.

В заключение отметим, что кусок бумаги с планом города уж на что, казалось бы, проще самого города, но есть люди, прекрасно ориентирующиеся на местности и абсолютно беспомощные при обращении с «бумагой». Так что, пожалуй действительно не стоит заранее навязывать звание «модели» чему-либо одному: в зависимости от направленности своих интересв в данный момент одни могут считать «моделью» план, а другие — сам город.

2.2. Тождество и отождествление

Понятия тождества и (особенно) отождествления на­столько тесно связаны со всем смыслом дальнейших рас­смотрений, что полное их обособление было бы затруд­нительно хотя бы уже из композиционных соображений. Сформулируем несколько исходных тезисов (ком­ментируемых по ходу всего раздела).

1. Понятие тождества (эквивалентности, равенства, «совпадения», «одинаковости», «неотличимости» и т. п. по своей «природе» относительно: иногда «слишком похожие» объекты мы хотим рассматривать в качестве различных (однояйцевые близнецы, электроны в задаче об их взаимо­действии, денежная купюра в своем и в чужом кармане и т. п.), в других же случаях готовы игнорировать раз­личия казалось бы вполне объективные, а для знатоков так просто бросающиеся в глаза (разные экземпляры журна­лов типа «Огонька», быть может и разных лет; динозавр и бронтозавр; единое слово «негр» в применении к готтен­тотам, зулусам и масаям; Антарес, Альтаир, Арктур и Альдебаран; и т. д. и т. п.).

2. Поскольку, таким образом, никаких единых кри­териев по вопросу о тождестве и различии предметов нет и, по-видимому, не может быть, мы в каждом конкрет­ном случае, принимая соглашение о «тождестве» двух предметов (a priori уже потому «различных», что это два предмета, а не один), пользуемся специальной абстрак­цией отождествления.

3. В частности, рассмотрение каких-либо двух систем как «изоморфных» (на интуитивном уровне — другого у нас пока нет) уже есть тем самым их отождествление. Отождествлением, вообще говоря, яв­ляется и объявление каких-либо двух объектов (систем объектов) «моделями» друг друга (кроме тех более общих случаев, когда это отношение имеет свойства отношения нестрогого порядка, или от­ношения толерантности.) Оба эти утверждения следуют из набросков определений предыдущего параграфа.

Идея отождествления связана также (но совершенно иным образом) и с более общим, чем изоморфизм, понятием гомоморфизма. А именно, когда мы, совершая «гомоморф­ное преобразование» какого-либо объекта, «упрощаем» его, это означает не что иное, как то, что некоторые его со­ставляющие (удобнее говорить в таких слу­чаях об «элементах», рассматривая «объект» как «сово­купность», «класс», «множество» и т. п. мы перестаем различать — т. е. отождествляем. Позднее будет выясненно, что в реализации этой эвристической идеи со­стоит кардинальнейший результат всей теории гомомор­физмов (и отождествлений).

5. Таким образом, понятия изоморфизма, гомоморфиз­ма, модели и отождествления оказываются тесно «завязанными» в один узел.