Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 59 )

Решение системы (2) при малом h в целом хорошо имитирует решения уравнения (1) как в количественном, так и в качественном отношениях. Проверим, например, выполнение закона сохранения полной энергии для стержня конечной длины l, жестко закрепленного на концах. Тогда и в непрерывной модели выражение для полной энергии имеет вид

(выведите это выражение!). Применяя правило Лейбница о дифференцировании интеграла по параметру, получаем отсюда

Пользуясь уравнением (1), выводим

Но из предположения о жестком закреплении концов стер­жня следует, что и потому Зна­чит, т. е.

Проверим теперь аналогичное свойство для дискретной модели (2). Пусть точки имеют номера с i=0 до i=N, причем и (концы закреплены). Тогда выражениие для полной энергии таково:

После дифференцирования и применения уравнения (2) получаем

(3)

Раскрыв во второй сумме вторую скобку, проведем преобра­зование:

при последнем переходе мы учли, что индекс суммирования является немой переменной, т. е. может быть обозначен любой буквой и, кроме того, чтоОтбросив член с находим отсюда

Подставив это выражение, а также значения т и k в (3), получаем, что(проверьте!), т. е.

Отметим попутно, что проверка выполнения в модели математических аналогов фундаментальных физических за­конов, таких, как закон сохранения энергии, подобная толь­ко что проведенной, является важным этапом контроля качественной адекватности этой модели. Такой контроль существен, в частности, при переходе от одной математиче­ской модели к другой — например, при упрощении урав­нений модели, когда исследование в какой-то степени отор­валось от физической реальности.

Но есть и некоторые отличия между решениями урав­нения (1) и системы (2), не только количественные, но и качественные. Так, далеее будет показано, что решения­ми уравнения (1) служат волны, бегущие по стержню с постоянной скоростью а без изменения своей формы; с той же скоростью распространяются и любые деформации, поя­вившиеся в результате внешних воздействий. Для системы же (2) влияние внешних воздействий распространяется с формально бесконечной скоростью. Пусть, например, левый конец х=0 полубесконечного стержня начиная с момен­та t= 0 пришел в движение с постоянной скоростью Тогда график смещений в некоторый момент t > 0 для модели (1) показан на рис. 3 сплошной линией, а для модели (2) — штри­ховой.

Pис. 3

Таким образом, дис­кретная модель получи­лась неадекватной по от­ношению к скорости рас­пространения воздействий. Адекватность можно восстановить, если, например, пренебречь слишком малы - ми значениями смещений, считая, что воздействие дошло до какой-то точки, если смещение превзошло некоторое разумное значение

3.4.3. Линейные и нелинейные модели

Линейная зависи­мость одной величины от другой — это пропорциональность их приращений, т. е. зависимость вида у = ах + b, откуда получаем (∆ — обычное обозначение приращения); аналогично, линейная зависимость величины от двух других — это зависимость вида откуда и т. д. Типичные линейные зависимости между физическими величинами — закон Гука (удлинение пропорционально силе растяжения), закон Ома, закон теплового расширения и т. д. В действительности все эти зависи­мости являются линейными лишь приближенно, но в соот­ветствующих, обычно устанавливаемых эмпирически диапа­зонах изменения величин предположение о линейности вы­полняется с хорошей точностью и в то же время существенно упрощает исследование.

Аналогично определяется понятие линейной модели. Оно применяется для моделей объектов, рассматриваемых как преобразователи, для которых каждому входу соответству­ет некоторый выход. Так, если мы изучаем задачу о прогибе прямолинейного стержня под действием попереч­ной распределенной нагрузки, то входом можно считать ее плотность q(х), а выходом — прогиб у(х). Если изучается задача о вынужденных колебаниях осциллятора, то входом можно считать закон изменения внешней силы F(t), а выхо­дом — закон колебаний х(t) и т. д. В математике такой преобразователь называется оператором. (Кстати, и любую функцию можно трактовать как преобразователь, у которого входом служит значение аргумента или набор значений аргументов, если их несколько, а выходом — значение функции.)

Будем считать, что начала отсчета входа и выхода выбраны так, что нулевому входу отвечает нулевой выход. Тогда модель называется линейной, если в ней выполнен принцип суперпозиции (наложения), т. е. при сложении входов складываются и выходы, а при умножении входа на любое число выход умножается на то же число. Если этот принцип не выполнен, модель называется нелинейной. Ли­нейные модели обычно описываются линейными неоднород­ными уравнениями — алгебраическими, дифференциальны­ми и т. д., в которых неоднородный член отвечает входу, а решение — выходу. Так, в первом примере предыдущего абзаца при сравнительно малых прогибах модель является линейной и, приняв для определенности, что концы х =а и х = b стержня шарнирно закреплены, получаем в качестве математической модели краевую задачу (т. е. задачу о ре­шении дифференциального уравнения при заданных крае­вых условиях)

(1)

где Е — модуль Юнга, а І — геометрический момент инер­ции поперечного сечения относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси z. Во втором примере, для осциллятора получаем задачу Коши (т. е. задачу с начальными условиями)

(2)

Линейным является решение уравнения (1.4) во всем прост­ранстве относительно начального условия

и т. д.

Свойство линейности модели существенно упрощает пос­троение и исследование решения математической задачи. Так, если модель включает обыкновенное дифференциаль­ное уравнение, как в примерах (8) и (9), такому иссле­дованию помогает то, что решение такого уравнения стан­дартным способом выражается через так называемую фун­даментальную систему решений, а если коэффициенты уравнения постоянные — то и непосредственно через экспоненты.

Целый ряд методов решения дифференциальных и иных уравнений был впервые разработан и наиболее эффективно применяется для случая, когда эти уравнения линейны. Напомним, например, как применяется классический метод разделения переменных (метод Фурье) к решению урав­нения теплопроводности (1 п.3.1.4) в ограниченной области D) при заданном начальном условии и однородных граничных условиях I, II или III рода. Вначале строится соответствующая последовательность так называемых собственных функций удовлетворяющих в (D) уравнению

(3)

а на границе (D) — тому же условию, что и θ. Эти функции для наиболее простых областей (D) явно выписываются и приведены в справочниках, а в других случаях могут быть построены численно, причем основную роль играют первые из них, порой даже лишь функция φi, отвечающая наимень­шему собственному значению Функции образуют в (D) так называемую ортогональную полную систему, откуда следует, что допускает по ней разложение:

коэффициенты которого можно подсчитать по формулам