Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 26 )

1. Поскольку, как уже только что оговаривалось, содержательные примеры понятия гомоморфизма (если только не требовать от них с самого начала предель­ной детализации, что неминуемо привело бы к известному догматизму изложения) имеют явно «приблизительный» характер, начнем с «мотивационных» рассмотрений.

Вернемся к изоморфизму. Что это, собст­венно, такое? Как охарактеризовать это понятие на пре­дельно содержательном, интуитивном, «наводящем» уров­не? На это можно было бы ответить примерно следующим образом. Изоморфизм — значит тождество, подобие, «оди­наковость» строения. Такое подобие прежде всего пред­полагает равночисленность, так как если рассматри­ваемые совокупности имеют разное число членов (или составных частей), то уже тем самым они будут иметь су­щественно разное «строение». В самом деле, трудно «проще» охарактеризовать произвольное данное конечное множест­во, чем сказать, что оно состоит из такого-то числа элемен­тов — большей абстракции не придумаешь (и именно так — путем «полного отвлечения от природы» элементов множества — приходят к понятию его количест­венной характеристики: мощности).

Если же описание дает нам какую-либо дополнитель­ную (причем точную) информацию, помимо количествен­ной оценки системы («качественную» ее характеристику), то мы говорим об изоморфизме относительно фиксируе­мых данным описанием ее «качеств» (атрибутов, предика­тов), причем не только различные изоморфные описания (относительно разных «качеств»), вообще говоря, не сов­падают, но и одно и то же описание может оказаться при­менимым для двух «разных» — с точки зрения наблюдателя, претендующего на изоморфизм своих впечатлений дейст­вительности, — ситуаций: более общая характеристика, как известно, охватывает более широкий класс объектов.

2. Гомоморфизм же, в отличие от точного, «протоколь­ного» изоморфного восприятия — это приблизительное впечатление. Неточно — да. Но все-таки — никакого вранья. Гомоморфизм — это «приблизительный изомор­физм», «изоморфизм с беглого взгляда», «из окна поезда»,, «изоморфизм в сумерках». Чего-то не заметил — очень может быть. Но ничего не придумал. На «гомоморфной» фотографии (т. е. на обычной черно-белой) темно-красное платье можно спутать с черным, а желтое — с белым. Но все-таки — не белое с черным.

Итак, мы установили, что изоморфные описания — это сочинения натуралистов, гомоморфные — творения реалистов (но не романтиков). А реалисты, позволяя себе пренебрегать «фактиками», фактов придерживаются строго. Значит, никаких выдумок: подробности разве что теряются, но не высасываются из пальца. Ученому (даже биологу) затруднительно быть натуралис­том, но, будучи ученым, он обязан быть реалистом. Сле­довательно, в частности, в гомоморфном очерке не могут появляться новые действующие лица.

Заключение это может показаться слишком категорич­ным: ведь если на вопрос, сколько народу в очереди, в которой (как выяснилось потом) стоит ровно 63 чело­века, один знакомый отвечает «человек пятьдесят», а другой «человек семьдесят», мы не откажем в доверии не только первому, но и второму (и даже не на том осно­вании, что его оценка точнее). Но никакого противоречия с замечанием об «уменьшении числа действующих лиц» здесь нет: просто оба они «действующими лицами» считали не отдельных людей, а десятки. А семь (как и пять), конечно же, меньше, чем шестьдесят три. Значит, любое округление (по недостатку ли, по избытку ли — все едино) может лишь уменьшить число фиксируемых персонажей, но не увеличить: переход к более крупным разрядам, как и переключение внимания с отдельных судеб на жизнь коллектива, в русле реалистической тради­ции.

Коротко это важнейшее для понимания дальнейшего обстоятельство можно выразить так: гомоморфный образ содержит не большее число элементов, чем оригинал, но элементами его могут служить классы индивидов, явяющихся элементами прообраза.

3. Теперь можно завершить предва­рительный обзор основных понятий. Основная «методо­логическая функция» гомоморфного преобразования, как мы видели, состоит в том, чтобы «свернуть» всю доступную нам информацию об исследуемых объектах, явлениях, процессах (содержащую, вообще говоря, кроме дейст­вительно необходимых для уяснения сути дела сведений мaccy второстепенных, мало существенных, а то и слуайных данных) в гораздо более компактную (но в то же ремя и более «емкую»), удобообозримую и удобообрабаываемую форму.

Встает вопрос, что считать существенным, а что второстепенным? Каковы должны быть критерии отбора? И есть ли единые критерии такого рода?

Ясно, что единых рецептов тут быть не может. Философ может разве что выявить и очертить основные методологические принципы, уяснить некоторые «охраительные» правила, нарушение которых может заведомо обесценить аргументацию, применяемую в конкретной области науки. Короче говоря, рекомендации его должны быть сродни не «законам» сорта принципа исключенного третьего (непригодного для использования в конструктивных математических доказательствах), а скорее типа за­кона (не)противоречия или закона достаточного основа­ния.

А «устраивать» конкретные «гомоморфизмы» будут представители конкретных наук. Типичный пример — составление карт. «Идеальная» карта местно­сти, на которой было бы «все» об этой местности, была бы столь загромождена данными, что ею пользоваться было бы невозможно. И вот синоптик оставляет на «контурной» карте лишь свои изобары, изотермы и т. п., геолог — лишь разведанные месторождения, орнитолог — маршруты миграции пернатых...В общем, каждый свое, но с одним общим непременным условием: никаких искажений, любая из этих «рабочих» карт должна быть гомоморфна «исходной» («абстрактной») карте. И так в каждой конкретной науке.

Перейдем к строгим дефинициям.

2.5. Некоторые определения

1. Пусть А и А' — два произвольные множеств («произвольные» в том смысле, что нам не понадобятся никакие дополнительные предположения ни о «природа элементов этих множеств, которая a priori может быт любой, и притом совершенно различной для А и А′, ни мощности множеств А и А', которые, в частности, могу быть как конечными, так и бесконечными, ни о каких либо свойствах элементов данных множеств или отношениях между ними). Пусть на каждом из множеств A и А' определены некоторые семейства предикатов {Fpn} и {Фqm} (верхний индекс указывает число аргументных мест ее ответствующего предиката, а нижний индекс — номе в некоторой фиксированной для каждого семейства нумерации). Пусть А и А' эквивалентны (равномощны) в обычном теоретико-множественном смысле, т. е. между их элементами можно установить взаимно-однозначнае соответствие: каждому элементу сопоставить один и только один элемент (обозначаемый также через где φ — знак функции, осуществляющей данное отображение, а равенство нижних индексов i как раз указывает на то, что ими обозначены соответствующие друг другу элементы данных множеств), и обратно, каж­дому элементу поставить в соответствие один и только один элемент первого множества (принятие этих обозначений подразумевает автоматиче­ски, что функции φ и f взаимно обратны, т. е. что для лю­бого и, аналогично, так что и

Если, далее, взаимно-однозначное соответствие (ко­торое мы будем по-прежнему для отображения в одну сторону обозначать функциональным символом φ, а в другую — символом f) можно установить и между опре­деленными на множествах А и А' системами предика­тов {F} и {Ф} (как обычно, термины «множество», «класс», «система», «семейство», «совокупность», «собрание», «набор» мы можем, если не ого­ворено противное, считать синонимами и свободно варьировать из стилистических соображений), причем соответствующие друг другу предикаты F и при этом получают одинаковые индексы (верхние — автоматически, поскольку сопоставля­ются между собой непременно предикаты с равным числом аргументных мест, а нижние — для фиксации того обстоя­тельства, что речь идет о предикатах, соответствующих друг другу в данном соответствии — определяющем, та­ким образом, данные нумерации) и для любых р, q, k и l и наборов индексов и изследует (т. е. (содержательный смысл понятия изоморфизма подсказывает здесь условие эквивалентности этих предикатов; но эта экви­валентность, как легко видеть, вытекает из приведенного в тексте более слабого условия), а из следует то такие множества А и А' называют изоморфными (или находящимися в отношении изоморфизма) относительно данных множеств предикатов {F} и {Ф}. Каждое из множеств А и А' называют в этом случае изоморфным образом другого (вообще для любого преобразования мы, следуя теоретико-функциональной традиции, множество А' и каждый из его элементов будем называть образом множества А или сответствующего его элемента; множество же А и его элемент будут именоваться прообразами своих образов).