Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 108 )

проинтегрируем (10) по частям:

В силу произвольности Пxt и ψ из (11) получим уравнение (6).

Пусть и(х, t) – разрывное решение, имеющее единственный разрыв на кривой

Пусть при

Функция и(х, t) в области

Удовлетворяет уравнению (6).

Принтегрируем (10) по частям в области П(1)x,t:

и в области П(2)x,t:

где

предельные значения u(x,t) на кривой S при стремлении к ней справа и слева.

Сложим (12) и (13):

где [u]= u+ -u-. В силу произвольности ψ(х, у)

(14)

Так как

то (15), (16)

где vp= (t) – скорость распространения разрыва.

Формула (17) называется формулой Гюгонио-Ренкина или формулой условий на разрыве.

Формула (17) позволяет определить скорость распространения разрыва на значение и±, но не дает ответ на вопрос о положении разрыва х=s(t).

Построение разрыва.

(6)

предполагая, что и→0 при х→±∞.

Площадь І под кривой и=и(х, t) оказывается инвариантной во времени (интегралом движения).

Разрыв х=s(t) нужно построить так, чтобы І(и), отвечающий разрывному решению, был равен І(и0) для начальной функции и0.

В результате из неоднозначного непрерывного решения получается разрывное, но уже однозначное решение, являющееся обобщенным решением уравнения (6). Условие на разрыв при этом выполняется автоматически.

3. Уравнение Кортевеча-де Фриза и закон сохранения

Функция η(х, t), описывающая процесс распространения длинных волн на поверхности воды приближенно удовлетворяет уравнению

где h0 - глубина жидкости, G0= - скорость длинных волн на мелкой воде.

Уравнение (18а) называется уравнением Кортевеча-де Фриза.

Из (18а) с помощью линейной замены переменных получим:

(18б) – канонический вид уравнения Кортевеча-де Фриза.

Уравнение (18б) обладает бесконечным числом интегралов движения (законов сохранения)

и т. д., что означает, что это уравнение обладает глубокой внутренней симметрией, которая и выделяет его среди других нелинейных уравнений.

4. Схема метода обратной задачи

1) Прямая и обратная задача рассеяния

Определение. Функция f(х, t) назывется быстроубывющей, если

C уравнением Кортевеча-де Фриза тесно связанно уравнение Шредингера (20):

с потенциалом и(х, t), завиящим от t как от параметра.

Рассмотрим для уравнения (20) две задачи.

а) Нахождение квантомеханических уровней энергии связанных состояний.

Найти какое значение, λ при которых уравнение (20) имеет нетривиальные решения

Здесь ψ(х, t) – нормированные на единицу волновые функции.

Эта задача имеет решение только при λ <0.

При х→∞ решения имеют асимптотику

где ψт(х, t) – собственная функция. нормированная на единицу,

- собственное значение,

б) Задача рассеяния плоской волны единичной амплитуды на потенциале и(х, t).

Найти при λ≥0 ограниченные решения уравнения (20) с заданным характером асимптоматического плведения при х→±∞:

где к2= λ, а подлежащие определению функции а(к, t) и в(к, t) – коэффициенты прохождения и отражения, причем

Совокупность решений задач а) и б)

называются данными решения.

Прямая задача рассеяния: определение для заданного потенциала данных рассеяния.

Обратная задача рассеяния: определение по заданным данных рассеяния соответствующего потенциала.

Данных рассеяния достаточно для однозначного определения потенциала

Схема решения обратной задачи рассеяния.

а) По данным рассеяния строится функция В(х, t) – ядро уравнения Гельфанда-Левитана:

б) Ищется решение линейного интегрального уравнения Гельфанда-Левитана:

б) Решенив уравнение (23) и найдя К(х, у, t), по формуле (24)

определяем функцию и(х, t), которая и является искомым потенциалом, т. е. решением обратной задачи рассеяния.

2) Решение задачи Коши.

Рассмотрим задачу Коши:

Решение и(х, t) задачи Коши (25) назовем быстроубывающим, если функция и(х, t) и все ее производные по х до третьего порядка включительно являются быстроубывающими функциями

Теорема 1. Если потенциал и(х, t) в (20) является быстроубывающим решением уравнения Кортевеча-де Фриза, то собственные значения не зависят от времени t.

Теорема 2. Если потенциал и(х, t) в (20) является быстроубывающим решением уравнения Кортевеча-де Фриза, то данные рассеяния Ст(t), а(к, t) и в(к, t) зависят от времени следующим образом:

Зная данные рассеяния для и0(х)≡ и(х, 0), можно по формуле (26) найти данные рассеяния и(х, t) и затем, построив и решив уравнение Гельфанда-Левитана, определить функцию и(х, t).

Схема построения быстродействующих решений задачи Коши:

а) Рассмотриваем стационарное уравнение Шредингера с потенциалом и0(х):

и определяем данные рассеяния и

б) По формуле (26) определяем Ст(t) и в(к, t) и строим ядро уравнения Гельфанда-Левитана (23)

в) Решив уравнение Гельфанда-Левитана с ядром (28) по формуле (24) определяем решений и(х, t) задачи Коши (25) для уравнения Кортевеча-де Фриза.

5. Солитонные решения

Рассмотрим решение задачи Коши (25) при

Данные рассеяния для уравнения (20) с потенциалом (29)

имеют вид: в(к, 0)=0, существует только одно собственное значение