Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 111 )

Если же то в силу первой формулы (1)

Таким образом, при (это и есть условие рассогласования начальных условий с граничными) решение имеет разрыв вдоль всего луча в «мировой» плоскости х, t. Этот луч описывает распространение возму­щения, возникшего при t = 0 в точке х = 0.

Оказывается, что описанная картина характерна для всех уравнений «гиперболического» типа, описывающих волно­вые процессы. При рассогласовании начальных условий с граничными у решения в случае одномерных задач возника­ют линии разрыва, подобные указанной; для двумерных и трехмерных задач размерность многообразия, на котором решение имеет разрыв, соответственно повышается. От­метим, что в разобранном примере линия разрыва оказалась прямой. Это связано со спецификой примера (предполо­жением об однородности стержня) и в общем случае может не иметь места.

Рассмотрим теперь аналогичный вопрос для одномерного уравнения теплопроводности (1 п.3.8.5) — простейшего пред­ставителя уравнений «параболического» типа, описываю­щих процессы, распространяющиеся с формально бесконеч­ной скоростью. Пусть начальное и граничное условия имеют соответственно вид

а решение строится приРешение можно получить по методу отражения: начальную функ­цию продолжить на отрицатель­ную полуось нечетным образом, т. е. положить после чего решить уравнение (1 п.3.8.5) на всей оси х с помощью формулы Пуассона, но решение рассмотреть только при х > 0, так как при указан­ном продолжении поставленное граничное условие обяза­тельно удовлетворяется (сколько тепла идет в точку х = 0 справа, столько же холода — слева). Таким образом, полу­чаем решение поставленной задачи:

(при преобразовании интег­ралов мы пользовались четностью функции Рассмот­рение полученной формулы для θ(х, t) показывает, что решение при обладает непрерывными про­изводными всех порядков, т. е. начальное рассогласование сразу же ликвидируется, не порождая никаких разрывов. Ясно, что данный пример для уравнения теплопроводности является типичным, т. е. полученное заключение имеет общий характер. Оказывается, что этим же свойством обла­дают и другие уравнения параболического типа.

3.10.5. О верификации модели

Проблема верификации мо­дели, т. е. выяснения ее адекватности, значительно выходит за рамки самоконтроля, но о ней нельзя упомянуть. Дейст­вительно ли, составляя уравнения и выбирая исходные данные, мы правильно учли все существенные для нас факторы, причем с необходимой точностью? Ответ на этот вопрос имеет кардинальное значение для проводимого иссле­дования или расчета.

Если речь идет о модели, достаточно апробированной в рассматриваемой области приложений, то вопрос о вери­фикации обычно не возникает, мы полностью полагаемся на предшественников. Он становится существенным, если мы либо строим модель заново, применяя известные ранее приемы, либо применяем известную модель вне рамок, в которых она показала себя адекватной, либо, наконец, строим принципиально новую модель. Во всех этих слу­чаях, особенно в двух последних подтверждение адекват­ности модели весьма желательно, без этого такая адекват­ность остается лишь более или менее правдоподобной ги­потезой.

Основным подтверждением адекватности принятой мо­дели является согласие следствий из нее с известными из эксперимента или из независимых теоретических исследо­ваний свойствами моделируемого объекта. При этом, чем больше окажется таких независимых подтверждений, тем большее доверие приобретает модель.

Так, например, нас может интересовать форма нормаль­ных (т. е. гармонических или затухающих гармонических) колебаний системы, но из эксперимента нам известны только их частоты; тогда совпадение рассчитанных частот с экс­периментальными может служить подтверждением правиль­ности расчета форм. Совпадение рассчитанных прогибов с экспериментальными при каких-либо комбинациях значе­ний параметров (чем больше таких комбинаций, тем лучше) может служить подтверждением правильности расчетов про­гибов при других комбинациях значений. Правильность модели может подтверждаться и предсказанием с ее по­мощью какого-либо эффекта, относящегося к известному прошлому («предсказанием прошлого по предпрошлому»).

Порой бывает и так: мы с помощью модели получаем только те результаты, которые нам уже известны из опыта. При этом модель подтверждается как бы впрок, в расчете на дальнейшие применения в условиях, не охваченных экс­периментом. К тому же математический анализ свойств объекта часто приводит к их более глубокому пониманию, что полезно само по себе.

Отметим еще следующее важное обстоятельство: при теоретическом подтверждении модели надо следить за не­зависимостью подтверждающих соображений от подтверж­даемых. Допустим, что мы описываем поведение реального объекта с помощью системы дифференциальных уравнений, причем, решив эту систему по методу Галеркина, обна­ружили хорошее совпадение с ранее известным решением той же системы, полученным по методу сеток. Служит ли этот факт подтверждением адекватности модели? Конечно, нет, он говорит только о правильности решения системы дифференциальных уравнений.

Если обнаружено существенное расхождение между рас­считанными и известными свойствами, то модель необ­ходимо изменить. Это можно делать, либо привлекая до­полнительные теоретические соображения, либо путем под­гонки, либо с помощью комбинации того и другого.

Рассмотрим в качестве примера про­цесс падения дождевой капли среднего размера с высоты Н = 300 м с нулевой начальной скоростью. Примене­ние «школьной» формулы дает время падения Однако фактически капля падает около 40 с, что показывает неадекватность «школьной» модели в данных условиях. Причина неадекватности здесь ясна: не учтено сопротивление воздуха, которое в данной ситуации оказывает весьма существенное воздействие. Попробуем учесть это сопротивление. Самое простое предположение, не противоречащее здравому смыслу, таково: сила сопротив­ления пропорциональна скорости движения капли. При этом предположении уравнение движения приобретает вид

(х отсчитывается вниз от точки начала падения), где т — масса капли, а k>0 — коэффициент трения. Отсюда при нулевых начальных условиях получаем решение

(1)

и соотношение между

(2)

Если известно, то при заданном Н отсюда можно найти Т, решив (например, методом итераций) трансценден­тное уравнение

и положив затемЗначение k можно получить теоретически по известной формуле Стокса где μ — коэффициент вязкости воздуха, а r — радиус капли. Мы здесь поступим иначе: рассмотрим как подгоночный коэффициент, обеспечивающий заданное время падения капли. Тогда надо найти из уравнения (2), считая H и g заданными. Для выраженного в с-1, получаем

уравнение

откуда находим значение т. е. формула (1) приобретает вид

Мы видим, что уже после 2—3 секунд падения скорость оказывается почти равной своему предельному значению 7,7 м/с, так что модель, основанная на предположении о равноускоренности движения, оказалась полностью неадек­ватной.

3.11. Распространенные ошибки

3.11.1. Ошибки в выборе модели

Эти ошибки могут про­исходить от разнообразных причин. Самой очевидной явля­ется непонимание ситуации, приводящее к выбору неадек­ватных гипотез. Яркий пример привел английский астроном А. Эддингтон: рыбак, который ловил рыбу только одной сетью, решил, разглядывая свои уловы, что наименьшие среди пойманных рыб — это самые маленькие рыбы в море; он допустил грубую ошибку, не учитывая важную особен­ность ситуации — определенный размер ячеек сети.