Парадигма развития науки. Методологическое обеспечение (стр. 2 )

Математическая модель (ММ) — совокупность мате­матических объектов (чисел, символов, множеств и т. д.) и связей между ними, отражающих важнейшие для проектировщика свойства проектируемого технического объекта.

В Началах Обобщенной теории моделирования мы приведем и проиллюст­рируем некоторые общие положения, связанные с понятием математической модели. Соответствующие примеры также имеют общий характер; они элементарны и взяты, в основ­ном, из физики, динамики и т. п. Методологической основой настоящей книги является многотомная работа автора под общим названием «Обобщенная теория моделированния».

Люди начали пользоваться математическими моделями еще до осознания математики как самостоятельной нау­ки — достаточно вспомнить исчисление площадей в Древнем Египте. И. Кеплер и особенно И. Ньютон, применив мате­матику к задачам естествознания и практики, заложили основы современного представления о математических моде­лях. В дальнейшем развитии науки и техники область применения математических моделей все более расширя­лась, модели становились разнообразнее. Значительное ус­ложнение математических моделей, потребность в сущест­венном ускорении решения прикладных математических задач привели к необходимости появления принципиально новых вычислительных средств, и ЭВМ, проникшие в самые разнообразные области деятельности, были впервые созданы именно для «обслуживания» математических мо­делей. И сейчас роль ЭВМ при изучении и применении математики столь велика, что термин математическое моделирование часто применяется по отношению к области прикладкой математики, включающей в себя как построение и исследование математических моделей, так и создание вычислительных алгоритмов и программ, реализующих эти алгоритмы на ЭВМ.

Достижения в области науки и техники, увеличение мощности производства, неуклонный рост капиталовложений в перспектив­ные отрасли народного хозяйства в значительной мере способство­вали развитию сложных автоматизированных систем управления. При создании подобных систем сохранился многоэтапный характер процесса их исследования и разработки, но потребовался коренной пересмотр подхода и методов решения проблемных задач, возникающих на каждом этапе исследования, проектирования, производства и испытаний системы.

В настоящее время трудно описать общепринятые методы ис­следования задач, связанных с созданием сложных систем. Очевид­но это окажется возможным только с появлением стройной и за­вершенной теории моделирования обїектов, над которой работае автор. Сейчас же можно отметить многие отдельные ра­боты, в которых нашли освещение вопросы теории модеоирования систем.

При системном подходе любое частное решение может быть принято после тщательного рассмотрения и установления всех наи­более существенных взаимосвязей, определяющих взаимоотноше­ния данного частного вопроса со всеми вопросами, характерными для системы в целом. Подобный учет и исследование взаимных свя­зей наиболее рационально проводить с помощью математических моделей, на которых можно, меняя значения параметров и различ­ных переменных, получить представление о поведении си­стемы в различных условиях.

Широкое применение моделирования при проведении исследова­ний систем объясняется не только вышесказанным.

При проведении любого научного исследования обычно стремят­ся в большей степени использовать экспериментальный метод. Но, к сожалению, в силу особенностей сложных систем возможность постановки и проведения экспериментальных исследований, особен­но на самом объекте, крайне ограничена, а зачастую и невозможна. Поэтому приходится обращаться к другим методам исследования и, в частности, к моделированию.

Специфика проведения испытаний сложных систем, значитель­ная стоимость экспериментальных работ, а порой и полное отсут­ствие априорных сведений о динамике работы системы требуют создания принципиально новых методов оценки показателей их эффективности.

Накопленный опыт при исследовании, проектировании, ис­пытаниях и определении характеристик систем дает воз­можность сформулировать положения опытно-теоретического мето­да оценки, основанного на методах объединения разнородной информации, полученной при различных видах испытаний подси­стем. Алгоритмическая реализация подобных методов накопления информации определяет потенциальные возможности в точности расчета оценок характеристик испытываемой системы.

В настоящее время широко применяют для оценки характери­стик систем методы расчета: аналитические, алгоритмиче­ские и математического моделирования, основанные на идеях уни­версального метода статистических испытаний Монте — Карло.

Использование аналитических методов расчета выходных пока-; зателей позволяет наглядно представить закономерности накопле­ния информации при проведении реальных испытаний. Однако воз­можности аналитических методов в значительной степени ограни­чены сложностью математического описания и точностью априор­ного определения факторов, которые наиболее существенно влияют на динамику работы исследуемой системы. Несмотря на это, анали­тические методы расчета являются одними из основных при изуче­нии процессов, происходящих в сложных автоматизированных системах.

При исследовании сложных управляемых процессов наиболее часто применяют алгоритмические методы и метод статистических испытаний.

Универсальность метода статистических испытаний и хорошая реализуемость его на ЭВМ позволили эффективно использовать этот метод вероятностного исследования при изучении процессов в сложных автоматизированных комплексах.

Из вышесказанного следует, что практические возможности опытно-теоретического метода оценки, основанного на том или ином методе расчета выходных характеристик системы, полностью опре­деляются точностью расчета выходных характеристик с помощью созданных моделей. В связи с этим чрезвычайно важное значение приобретают вопросы отработки математических моделей по результатам моделирования и натурных экспериментов. Без реше­ния этого комплекса вопросов невозможно представить пути полу­чения объективных характеристик качества сложных автоматизи­рованных систем.

При конкретном анализе систем приходится сталки­ваться с проблемами, возникающими на этапах планирования, организации и выбора условий проведения натурных испытаний систем с учетом экономических факторов и требующих развития новых методов решения. Практика показывает, что только комплексный подход к исследованию этих проблем может привести к практически приемлемым решениям.

Данная работа предназначена для магистров, аспирантов и докторантов, а также для состоявшихся ученых, сталкивающихся в своей деятельности с применением мате­матики.

Введение

Моделирование - метод исследования /познания/ окружающего мира, в котором некоторому изучаемому явлению поставлено в соответствие модель в виде также объекта, явления, процесса, которое может заменить натуру в процессе исследований.

Модель отражает некоторые свойства натуры, но всегда отличается от нее.

Фокус информативности есть модель.

В зависимости от целей моделирования могут быть выбраны разные модели для одного и того же объекта.

Моделирование используется для двух основных целей:

1. Расширение наших знаний об окружающем мире;

2. Разработка эффективных производственных процессов

/проектирование механизмов, приборов, технологий, процессов/.

В моделировании очень важна роль модельного эксперимента. Для определения достоверности и выявления лучших экспериментов нужно много времени, причем очевидным является планируемость экспериментов /сокращается время исследования/.

Существует два общих подхода к моделированию:

1. Классический /теоретико-аналитический/. Предполагается, что исследуемый объект, явление или процесс имеет строгое математическое описание, например оператор F0. В процессе проектирования мы конструируем оператор Fм, он должен приближаться к реально существующему F0.

Теоретико-аналитический подход позволяет сконструировать несколько операторов F¢м, F¢¢м,..., F(n)м, каждый из которых может быть использован на том или ином этапе исследования. Степень приближения Fм к F0 определяется некоторым критериям соответствия, которые в целом называются функциями потерь /Q/. Одним из них является сумма среднеквадратичных отклонений. Для оценки этого показателя используются результаты многих экспериментов. Лучшей будет модель, где меньше потеря критериальных отклонений.

2. Современный /экспериментально-статистический/. Выделяет эксперимент как ведущее средство моделирования. Может применяться к особо сложным системам, которые могут и не иметь строгого математического описания F0.

Основным методом подхода является имитационное моделирование. В нем предполагается, что любой исследуемый объект может быть разделен на некоторое число компонент, некоторые из них могут иметь математическое описание, а функционирование других компонент может быть неизвестно. Т. о. осуществляется переход от общего к системе, а сама система неразрывно связана с внешней средой.

В экспериментально-статистическом подходе весь процесс исследования подразделяется на 2 этапа:

1/ Сбор статистики по воздействию на систему из внешней среды и реакции системы на эти воздействия, характеризующиеся значимыми отношениями: R1*...R5*. Определяется также значимые свойства этих отношений Р1*...Р5*.

Практически при имитационном моделировании взаимодействие системы со средой характеризуется конкретными моделями информационных потоков. Эти модели составляются в конце первого этапа в результате обработки статистической информации.

При исследовании и проектировании техниче­ских объектов можно выделить две основные группы процедур: анализ и синтез. Для синтеза характерно использование структурных моделей, для анализа — использование функциональных моделей. Анализ, как правило, выполняется математическим моделированием. Математическое моделирование — процесс создания мо­дели и оперирование ею с целью получения сведе­ний о реальном объекте. Альтернативой математиче­ского моделирования является физическое макетирова­ние, но у математического моделирования есть ряд преимуществ: меньшие сроки на подготовку анализа; значительно меньшая материалоемкость, особенно при проектировании крупногабаритных объектов; возмож­ность выполнения экспериментов на критических режи­мах, которые привели бы к разрушению физического макета, и др.